湖南省娄底市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B$ 为（）

A、 ${1 ， 2 ， 4}$ B、 ${4}$ C、 ${0 ， 2 ， 4}$ D、 ${0 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 2018°是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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3. 在新高考改革中，一名高一学生在确定选修物理的情况下，想从政治，地理，生物，化学中再选两科学习，则所选两科中一定有地理的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知椭圆 $x^{2} + m y^{2} = 1$ 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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5. 设向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，且 ${| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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6. 设 $a = \sqrt{2} ， b = \sqrt{7} - \sqrt{3} ， c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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7. 已知函数 $f_{1} (x)$ =a^x ， $f_{2} (x)$ =x^a ， $f_{3} (x)$ =log_ax（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = \frac{2 a_{n - 1}}{a_{n - 1} + 2}$ ， $(n \geq 2)$ ，则 $a_{n}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{n + 1}$ B、 $\frac{2}{n}$ C、 $\frac{3}{n}$ D、 $\frac{3}{n + 1}$

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二、多选题

9. 给出下列四个关系式，其中不正确的是（）．

A、 $\sin α \sin β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)]$ B、 $\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$ C、 $\cos α \cos β = - \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)]$ D、 $\cos α \sin β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)]$

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10. 设 $x ， y \in R_{+}$ ， $S = x + y$ ， $P = x y$ ，以下四个命题中正确的是（）．

A、若 $P$ 为定值 $m$ ，则 $S$ 有最大值 $2 \sqrt{m}$ B、若 $S = P$ ，则 $P$ 有最大值4 C、若 $S = P$ ，则 $S$ 有最小值4 D、若 $S^{2} \geq k P$ 总成立，则 $k$ 的取值范围为 $k \leq 4$

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11. 已知双曲线C的标准方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则（）

A、双曲线C的离心率等于半焦距 B、双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 与双曲线C有相同的渐近线 C、双曲线C的一条渐近线被圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、直线 $y = k x + b$ 与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E、F，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、线段 $B_{1} D_{1}$ 上存在点E、F使得 $A E / / B F$ B、 $E F / /$ 平面ABCD C、 $△ A E F$ 的面积与 $△ B E F$ 的面积相等 D、三棱锥A-BEF的体积为定值

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三、填空题

13. 已知p：“ $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ ”，q：“x=4”，则p是q的条件.

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14. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为.

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15. 若 $a$ ， $b \in {- 1 ， 1 ， 2}$ ，则函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + b$ 有零点的概率为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和S_n＝2a_n－1(n∈N^*)，设b_n＝1＋log₂a_n ，则数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和T_n＝．

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四、解答题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (\sqrt{3} sin \frac{x}{2} ， 1) ， \overset{⇀}{n} = (cos \frac{x}{2} ， {cos}^{2} \frac{x}{2})$ .记 $f (x) = \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调增区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ 若 $f (C) = 1 ， c = 2 \sqrt{7} ， sin A = 2 sin B$ ，求 $a ， b$ 的值.

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18. 在① $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ ，② $a_{3} + a_{5} = 4 (b_{1} + b_{4})$ ，③ $b_{2} S_{4} = 5 a_{2} b_{3}$ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
设 ${a_{n}}$ 是公比大于0的等比数列，其前n项和为 $S_{n} ， {b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} - S_{2} = a_{2} + 2 a_{1} ， a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ，__________.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n} ，$ 求 $T_{n}$ .

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19. 如图已知四棱锥A-BCC₁B₁底面为矩形，侧面ABC为等边三角形，且矩形BCC₁B₁与三角形ABC所在的平面互相垂直，BC=4，BB₁=2，D为AC的中点.

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $D B C_{1}$ ；

(2)、求点D到平面ABC₁的距离.

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20. 已知曲线 $C ： (1 + a) x^{2} + (1 + a) y^{2} - 4 x + 8 a y = 0$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a$ 取何值时，方程表示圆？

(2)、求证：不论 $a$ 为何值，曲线 $C$ 必过两定点.

(3)、当曲线 $C$ 表示圆时，求圆面积最小时 $a$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{a x + b}$ ，且 $f (1) = \frac{5}{2}$ ， $f (2) = \frac{17}{4}$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值．

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性．

(3)、试判断函数在 $(- \infty ， 0]$ 上的单调性，并证明．

(4)、求函数 $f (x)$ 的最小值．

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22. 点 $M (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，且点 $M$ 到椭圆两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{5}$ 。

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知动直线 $y = k (x + 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $P (- \frac{7}{3} ， 0)$ ，求证： $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值

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