湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、1 C、2 D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
2. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线的斜率为（）

A、 $\pm \frac{1}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、±2

查看试题解析
3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，则圆锥的高为（）

A、 $\sqrt{33}$ B、 $\sqrt{34}$ C、 $\sqrt{35}$ D、5

查看试题解析
4. 如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

查看试题解析
5. 若直线 $m x + n y = 9$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 没有交点，则过点 $(m ， n)$ 的直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的交点个数为（）

A、2个 B、1个 C、0个 D、无法确定

查看试题解析
6. 三棱锥 $P - A B C ， P A = P B = P C = \sqrt{73} ， A B = 10 ， B C = 8 ， C A = 6$ 则二面角 $P - A C - B$ 的大小为（）

A、90° B、60° C、45° D、30°

查看试题解析
7. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题，“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”类似地：如今有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦 $A B = 1$ 尺，弓形高 $C D = 1$ 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积（最接近的一项）约为（）（注：1丈=10尺=100寸， $π \approx 3.14$ ， $\sin 22.5 ° \approx \frac{5}{13}$ ）

A、600立方寸 B、610立方寸 C、620立方寸 D、633立方寸

查看试题解析
8. 已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0 ）$ 交于A､B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若 $△ A B F$ 的面积为4a² ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题正确的是（）

A、若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β B、若m // α，n // β，且m // n，则α // β C、若m⊥α，n // β，且m⊥n，则α⊥β D、若m⊥α，n // β，且m // n，则α⊥β

查看试题解析
10. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则 $| P F |$ 的值可能是（）

A、1 B、3 C、6 D、10

查看试题解析
11. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线 $M N //$ 平面ABC的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
12. 若长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的正方形，高为4， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} E ⊥ A_{1} B$ B、平面 $B_{1} C E //$ 平面 $A_{1} B D$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C D_{1}$ 的外接球的表面积为 $24 π$

查看试题解析

三、填空题

13. 如果方程 $\frac{x^{2}}{a + 7} + \frac{y^{2}}{a^{2} + 1} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是.

查看试题解析
14. 若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的体积为.（棱台体积公式： $V = \frac{1}{3} h (S_{1} + \sqrt{S_{1} S_{2}} + S_{2})$ 其中 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为棱台上、下底的面积，h为棱台的高）

查看试题解析
15. 已知 $F$ 为抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点， $O$ 为原点，点 $P$ 是抛物线准线上一动点，点 $A$ 在抛物线上，且 $| A F | = 4$ ，则 $| P A | + | P O |$ 的最小值为．

查看试题解析
16. 已知一圆锥底面圆的直径为6，圆锥的高为 $3 \sqrt{3}$ ，在该圆锥内放置一个棱长为 $a$ 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动，则 $a$ 的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P B = P D$

(1)、求证： $C D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求证： $P C ⊥ B D$ ．

查看试题解析
18. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点为 $O$ ，准线方程为 $x = - \frac{1}{2}$

(1)、求抛物线方程；

(2)、过点 $（ 1 ， 0 ）$ 且斜率为 $1$ 的直线与抛物线交于 $P ， Q$ 两点，求 $Δ O P Q$ 的面积．

查看试题解析
19. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2 m^{2}} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > \sqrt{2})$ ，直线 $l$ 过点 $P (1 ， 1)$ ，交椭圆于 $A$ ､ $B$ 两点，且 $P$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $| A B | = \sqrt{5} | O P |$ ，求 $m$ 的值.

查看试题解析
20. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 14$ ， $B C = 5$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $E ， F$ 分别在 $A_{1} B_{1} ， D_{1} C_{1}$ 上， $A_{1} E = D_{1} F = 2.$

(1)、求直线 $C F$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值；

(2)、过点 $E ， F$ 的平面 $α$ 与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面 $α$ 把该长方体分成的两部分体积的比值.

查看试题解析
21. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别是棱 $B C$ ， $A B$ 的中点，点 $F$ 在棱 $C C_{1}$ 上，已知 $A B = A C$ ， $A A_{1} = 3$ ， $B C = C F = 2$ .

(1)、求证： $C_{1} E //$ 平面 $A D F$ ；

(2)、在棱 $B B_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使平面 $C A M ⊥$ 平面 $A D F$ ，若存在，试求出 $B M$ 的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (2 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于A，B.
（i）证明直线AB过定点；

（ii）求点P到直线AB距离的最大值.

查看试题解析