湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y + 5 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. P为圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任一点，则P与点 $M (3 ， 4)$ 的距离的最小值是（）

A、1 B、4 C、5 D、6

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3. 直线 $y = \sqrt{3} x + m$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 在第二象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{3} ， 2)$ B、 $[\sqrt{3} ， 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， \sqrt{3})$

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4. 以 $A (- 3, - 1)$ ， $B (5, 5)$ 两点为直径端点的圆的方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 100$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 100$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

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5. 设点 $A (1 ， 1)$ ， $B (5 ， - 1)$ ，直线l过点 $(6 ， 4)$ 且与线段AB不相交，则l的斜率的取值范围是（）

A、 $\frac{3}{5} \leq k \leq 5$ B、 $\frac{3}{5} < k < 5$ C、 $k < \frac{3}{5}$ 或 $k > 5$ D、不存在

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6. 圆心在直线 $2 x - y = 0$ 上的圆C与x轴相切，圆C截y轴所得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则圆C的标准方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 或 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

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7. 已知在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 4$ ，前三项之和 $S_{3} = 12$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 16 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ B、 $a_{n} = 16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ C、 $a_{n} = 4$ D、 $a_{n} = 4$ 或 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot 2^{5 - n}$

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8. 圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$ 被直线 $l ： a x + y - 1 - a = 0$ 截得的弦长的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，下列结论一定成立的有（）

A、 $\sin (B + C) = \sin A$ B、 $\cos (A + B) = \cos C$ C、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ D、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形

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10. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} + 3 a_{2} = S_{6}$ ，则下列四个选项中正确的有（）

A、 $a_{7} = 0$ B、 $S_{13} = 0$ C、 $S_{7}$ 最小 D、 $S_{5} = S_{8}$

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11. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）

A、16天中每日新增确诊病例数量在下降且19日的降幅最大 B、16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C、16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000 D、21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{1} + a_{n} + n$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ B、数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前2020项的和为 $\frac{2020}{2021}$ C、数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前2020项的和为 $\frac{4040}{2021}$ D、数列 ${a_{n}}$ 的第50项为2550

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三、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $2 a_{10} = a_{12} + 8$ ，则 $S_{15} =$ .

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14. 已知直线l的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，直线 $l_{1}$ 经过点 $A (1 ， 2)$ ， $B (2 ， a)$ ，且直线l与 $l_{1}$ 垂直，则实数a的值为.

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15. 若圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 ${(x - a)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$ 相交，则实数a的取值范围是.

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16. 直线 $2 a x + b y - 2 = 0$ 始终平分圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ 的圆周，则直线 $(1 + 2 a) x + b y + 3 = 0$ 过定点P ， P点坐标为.

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四、解答题

17. 求经过直线 $l_{1} ： 3 x + 4 y - 5 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x - 3 y + 8 = 0$ 的交点M ，且满足下列条件的直线方程.

(1)、与直线 $2 x + y + 7 = 0$ 平行；

(2)、与直线 $2 x + y + 7 = 0$ 垂直.

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18. 一条光线从点 $P (6 ， 4)$ 射出，与 $x$ 轴相交于点 $Q (2 ， 0)$ ，经 $x$ 轴反射，反射光线与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 5 = 0$ 相交.

(1)、求反射光线所在直线方程；

(2)、求（1）中反射光线所在直线被圆C截得的弦长.

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19. 已知点 $A (1 ， - 1)$ ， $B (5 ， 1)$ ，直线L经过A ，且斜率为 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求直线L的方程；

(2)、求以B为圆心，并且与直线L相切的圆的标准方程.

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且点 $P (a_{n} ， a_{n + 1}) (n \in N^{*})$ 在直线 $2 x - y = 0$ 上， $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} - b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间 $(\bar{x} - s ， \bar{x} + s)$ 的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中 $\bar{x} ， s$ 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 $s \approx 27$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

(1)、若该校高三某男生的跳远距离为 $187 c m$ ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？

(2)、该校利用分层抽样的方法从样本区间 $[160 ， 180) ， [180 ， 200) ， [200 ， 220)$ 中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在 $[200 ， 220)$ 的概率.

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22. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} - m$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{3} = 3$ ， $b_{6} - b_{4} = 2$ .

(1)、求m；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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