河南省南阳市2020-2021学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 不等式 $3 x^{2} - 5 x - 2 \leq 0$ 的解集是（）

A、 $[- \frac{1}{3} ， 2]$ B、 $[- 2 ， \frac{1}{3}]$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [\frac{1}{3} ， + \infty)$

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2. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 5$ ， $b = 3$ ， $c = 2 \sqrt{5}$ ，则 $\cos C =$ （）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{14}{15}$

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3. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{2}}{a_{3}} = - \frac{2}{9}$ ，且 ${a_{n}}$ 的公比 $q$ 为整数，则 $q =$ （）

A、3 B、2 C、-2 D、-3

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4. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y \geq 3 \\ 2 x - y - 3 \leq 0 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值是（）

A、-3 B、5 C、6 D、8

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(\sin A + \sin B - \sin C)$ $(\sin A - \sin B + \sin C) = 2 \sin B \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，且 $a_{1} + a_{5} + a_{9} = 19$ ，则 $a_{3} + a_{7} + a_{11} =$ （）

A、21 B、25 C、31 D、35

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7. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $m + 2 n = 3 m n$ ，则 $2 m + n$ 的最小值是（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、3 C、7 D、9

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8. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + 1 ， 0 < a_{n} < 1 \\ | 2 a_{n} - 3 | ， a_{n} \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $a_{23} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 6$ ， $\sqrt{7} b \cos A = 3 a \sin B$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $6 \sqrt{7}$ C、 $9 \sqrt{7}$ D、 $18 \sqrt{7}$

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ ，且 $- 2 < f (1) \leq 3$ ， $- 4 < f (- 2) \leq 8$ ，则 $f (- 1)$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{7}{3} ， \frac{10}{3})$ B、 $(- \frac{7}{3} ， \frac{10}{3}]$ C、 $(- \frac{4}{3} ， \frac{7}{3})$ D、 $(- \frac{4}{3} ， \frac{7}{3}]$

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11. 设等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n - t}{5 n + 3}$ ，若 $\frac{a_{7}}{b_{3} + b_{11}} = \frac{1}{4}$ ，则 $t =$ （）

A、5 B、6 C、22 D、 $\frac{51}{2}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2$ ，且 $b (\cos A + 1) = 2 \cos B$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(4 ， 6)$ C、 $(2 ， 6)$ D、 $(2 \sqrt{3} + 2 ， 6)$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{4}$ ， $B C = 4$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为.

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{5} = 15$ ， $a_{4} + a_{6} = 30$ ，则 $a_{7} =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $b^{2} - a^{2} = c^{2} + 8 - a c$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $B =$ .

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16. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $x + 4 y + 2 \sqrt{x y} \leq m (2 x + 3 y)$ 恒成立，则 $m$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - 3$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \cos B - b \cos A = 0$ .

(1)、证明： $A = B$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $\cos C = \frac{7}{8}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次 $f (x)$ （单位：百人）近似满足 $f (x) = 5 + \frac{5}{x}$ ．而人均消费g（x）（单位：元）与时间x成一次函数，且第5天的人均消费为600元，最后一天的人均消费为800元．

(1)、求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；

(2)、求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．

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20. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{a_{n + 1} + a_{n}}{n} = \frac{2}{a_{n + 1} - a_{n}} (n \in N_{+})$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{4 a_{n + 1}^{2} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 已知村庄B在村庄 $A$ 的东北方向，且村庄 $A$ ， $B$ 之间的距离是 $4 (\sqrt{3} - 1)$ 千米，村庄 $C$ 在村庄 $A$ 的西偏北 $15^{\circ}$ 方向，且村庄 $A$ ， $C$ 之间的距离是 $8$ 千米.现要在村庄 $B$ 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向建立一个农贸市场 $D$ ，使得农贸市场 $D$ 到村庄 $C$ 的距离是到村庄 $B$ 的距离的 $\sqrt{3}$ 倍.

(1)、求村庄 $B$ 、 $C$ 之间的距离；

(2)、求农贸市场 $D$ 到村庄 $B$ 、 $C$ 的距离之和.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} + 2 = 3$ ， $a_{2} + b_{2} = 7$ ， $a_{4} + b_{3} = 13$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n} = a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} - a_{4} a_{5} + ... + {(- 1)}^{n + 1} a_{n} a_{n + 1}$ 。若 $S_{n} + t b_{n} \leq 0$ 对任意的 $n \in N_{+}$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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