河北省张家口市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 3 x$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 3 x$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 3 x$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 3 x$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 3 x$

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2. 直线 $a x + b y = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 有两个公共点，那么点 $(a ， b)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、点在圆外 B、点在圆内 C、点在圆上 D、不能确定

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3. 椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A ， B$ 两点，则 $Δ A B F_{2}$ 的周长为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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4. 已知“ $0 \leq m \leq t$ ”是“ $x^{2} + y^{2} + 2 \sqrt{m} x - 2 \sqrt{2} y + 3 m = 0$ ”表示圆的必要不充分条件，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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5. 已知椭圆 $M$ 的焦点为椭圆 $N$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 在长轴上的顶点，且椭圆 $M$ 经过 $(\sqrt{3} ， 1)$ ，则 $M$ 的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{6} + \frac{x^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{4} = 1$

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6. 若点 $P (- 1 ， - 1)$ 为圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x = 0$ 的弦 $M N$ 的中点，则弦 $M N$ 所在直线的方程为（）

A、 $2 x + y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y - 1 = 0$ C、 $x + 2 y - 3 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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7. 若过直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 上一点 $M$ 向圆 $C$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ 作一条切线切于点 $T$ ，则 $| M T |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线 $y = 2 x + 1$ 相切，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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二、多选题

9. 若不等式 $x - 2 < a$ 成立的充分条件是 $0 < x < 3$ ，则实数 $a$ 的取值范围可以是（）

A、 $a \geq 2$ B、 $a \geq 1$ C、 $3 < a \leq 5$ D、 $a \leq 2$

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10. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为椭圆，则下列命题正确的是（）

A、该椭圆焦距为 $2 \sqrt{2}$ B、 $1 < t < 2$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆 C、离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $t$ 的取值为 $\frac{7}{5}$ 或 $\frac{13}{5}$ D、焦距为 $2 \sqrt{| 2 t - 4 |}$

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11. 设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 不经过原点 $O$ ，而且与椭圆相交于 $A ， B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、直线 $A B$ 与 $O M$ 垂直 B、若点 $M$ 坐标为 $(1 ， - 1)$ ，则直线 $l$ 的方程为 $x - 4 y - 5 = 0$ C、若直线 $l$ 的方程为 $y = x + 1$ ，则点 $M$ 坐标为 $(3 ， \frac{3}{4})$ D、若直线 $l$ 过椭圆焦点，则 $1 < | A B | < 4$

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12. 已知曲线 $C$ 的方程是 ${(x - \frac{| x |}{x})}^{2} + {(y - \frac{| y |}{y})}^{2} = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 与两坐标轴有公共点 B、曲线 $C$ 既是中心对称图形，又是轴对称图形 C、若点 $P ， Q$ 在曲线 $C$ 上，则 $| P Q |$ 的最大值是 $4 \sqrt{2}$ D、曲线 $C$ 围成的面积为 $8 + 4 π$

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三、填空题

13. 方程 $x^{2} + y^{2} + 2 a x + a y + 2 a^{2} + a - 1 = 0$ 表示圆，则 $a$ 的取值范围是.

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14. 已知 $p$ ： $| x - 1 | \geq 2$ ， $q$ ： $x^{2} - x - a (a + 1) > 0 (a > 0)$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. 若圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 5$ 与圆 $O_{2}$ ： ${(x + m)}^{2} + y^{2} = 20 (m > 0)$ 相交于 $A ， B$ 两点，且两圆在点 $A$ 处的切线互相垂直，则 $A B$ 的直线方程为.

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的短轴端点， $P$ 是椭圆上异于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 的一动点，设点 $Q$ 满足： $Q B_{1} ⊥ P B_{1}$ ， $Q B_{2} ⊥ P B_{2}$ ，则 $△ P B_{1} B_{2}$ 与 $△ Q B_{1} B_{2}$ 的面积之比为.

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四、解答题

17. 已知圆 $C$ 过两点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 4)$ 且圆心在直线 $2 x - y - 4 = 0$ 上.

(1)、求该圆 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $P (3 ， 1)$ 的直线被圆 $C$ 截得弦长最大时的直线 $l$ 的方程.

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18. 已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，右顶点为 $A (a ， 0)$ ，短轴长为 $2 b$ ，点 $E$ 的坐标为 $(0 ， c)$ ， $△ E F A$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的离心率；

(2)、若椭圆过 $(2 ， \sqrt{6})$ ，求椭圆的方程.

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 且斜率为1的直线 $l$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $F_{1}$ 为椭圆的左焦点， $P$ 为椭圆上的一点，若 $∠ P F_{1} F_{2} = 120 °$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $G$ ， $P B = P D$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A B = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点，求二面角 $C - D E - B$ 的余弦值.

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21. 已知圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(2 ， 2)$ ，从圆 $C$ 外一点 $P$ 向该圆引切线 $P T$ ， $T$ 为切点，且 $| P T | = | P Q |$ .

(1)、证明：点 $P$ 恒在一条定直线上，并求出定直线 $l$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 与椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上点的最近距离.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过原点的直线 $l$ （不与坐标轴重合）与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $| A F | + | B F | = 4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $A$ 作 $A M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，连接 $B M$ ，并延长交椭圆 $C$ 于 $N$ ，证明以线段 $B N$ 为直径的圆经过点 $A$ .

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