福建省福州市闽江口联盟校2020-2021学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $θ \in R ，$ ，则“ $θ = \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin θ = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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2. 若命题 $p$ 的逆命题是 $q$ ，否命题是 $r$ ，则 $q$ 是 $r$ 的（）

A、逆命题 B、否命题 C、逆否命题 D、以上都不正确

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3. 下列命题中真命题的个数是（）
⑴方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 有实数根；

⑵弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；

⑶若 $m \leq 0$ 或 $n \leq 0$ ，则 $m + n \leq 0$ ；

⑷在 $△ A B C$ 中，若 $a > b$ ，则 $∠ A > ∠ B$ ．

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 当 $k < 9$ 时，曲线 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{9 - k} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ （）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

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5. 设 $P (x ， y)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的点，则 $\sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}}$ 等于（）

A、4 B、5 C、8 D、10

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6. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ 有相同的焦点，它的一条渐近线为 $y = x$ ，则该双曲线方程为（）

A、 $y^{2} - x^{2} = 160$ B、 $x^{2} - y^{2} = 96$ C、 $x^{2} - y^{2} = 80$ D、 $y^{2} - x^{2} = 24$

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8. 给出下列曲线：① $4 x + 2 y - 1 = 0$ ；② $x^{2} + y^{2} = 1$ ；③ $y = x^{2}$ ；④ $y^{2} - x^{2} = 1$ ，其中与直线 $y = - 2 x + 1$ 有交点的所有曲线是（）

A、②④ B、①③ C、②③④ D、①②③

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二、多选题

9. 下列命题中的真命题是（）

A、若 $p \land q$ 为假命题，则 $p$ ， $q$ 均为假命题 B、若 $x^{2} + 2 x - 3 \neq 0$ ，则 $x \neq 1$ C、命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 0$ ，则 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} < 0$ D、“ $m > n > 0$ ”是“方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”的充要条件

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $x^{2} - y^{2} = 1$ 的左右焦点，下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ B、双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ C、 $F_{1}$ 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D、以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$

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11. 下列四个关于圆锥曲线的命题中，结论正确的是（）

A、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点； B、设 $A$ 、 $B$ 为两个定点， $k$ 为非零常数，若 $| P A | - | P B | = k$ ，则动点 $P$ 的轨迹为双曲线； C、方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； D、动圆 $P$ 过定点 $F (1 ， 0)$ 且与定直线 $l$ ： $x = - 1$ 相切，则圆心 $P$ 的轨迹方程是 $y^{2} = 2 x$ ．

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12. 已知点 $M (1 ， 0)$ ，直线 $l$ ： $x = - 2$ ，若某直线上存在点 $P$ ，使得点 $P$ 到点 $M$ 的距离比到直线 $l$ 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹曲线是一条线段 B、点 $P$ 的轨迹与直线 $l$ ： $x = - 1$ 是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点） C、 $y = 2 x + 6$ 不是“最远距离直线” D、 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 是“最远距离直线”

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三、填空题

13. 已知抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，且过点 $P (1 ， 1)$ ，则此抛物线的方程为．

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14. 已知 $x \in R$ ，条件 $p$ ： $0 < x < 1$ ，条件 $q$ ： $0 < x \leq a$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知双曲线的方程是 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ， $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是双曲线的焦点，点 $P$ 在双曲线上，且 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 32$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的大小为．

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16. 在第一象限， $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点，若点 $P$ 到两焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的距离之差为2，则 $P$ 点坐标为．

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四、解答题

17. 设点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(- 5 ， 0)$ ， $(5 ， 0)$ ，动点 $M$ 满足：直线 $A M$ ， $B M$ 的斜率之积为 $- \frac{9}{25}$ ，求：

(1)、点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、 $△ A M B$ 面积的最大值．

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18. 已知 $a \in R$ ，命题 $p$ ： $\forall x \in [- 2 ， - 1]$ ， $x^{2} - a \geq 0$ ，命题 $q$ ： $\exists x \in R$ ，使 $x^{2} + 2 a x - (a - 2) = 0$ ．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题“ $p \land q$ ”为真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知椭圆 $4 x^{2} + y^{2} = 1$ 及直线 $y = x + m$ .

(1)、当直线和椭圆有公共点时，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

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20. 已知直线 $l$ 经过抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线相交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、若直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，求 $| A B |$ 的值；

(2)、若以线段 $A B$ 为直径的圆截 $y$ 轴所得到的弦长为6，求此圆的半径．

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21. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，且 $\frac{a^{2}}{c} = \frac{\sqrt{3}}{3} ，$

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B ，$ 且线段 $A B$ 的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上，求 $m$ 的值.

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22. 如图，点 $A$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴位于 $y$ 轴下方的端点，过点 $A$ 且斜率为1的直线交椭圆于点 $B$ ， $P$ 在 $y$ 轴上，且 $B P / / x$ 轴， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A P} = 9$ .

(1)、若点 $P$ 的坐标为 $(0 ， 1)$ ，求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $P$ 的坐标为 $(0 ， t)$ ，求 $t$ 的取值范围．

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