安徽六校教育研究会2022届高三理数第一次素质考试试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1. 设集合 $A = {x \in N ∣ x^{2} - 8 x + 12 < 0} ， B = {x ∣ \log_{2} (x - 1) < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 ${x ∣ 3 \leq x < 5}$ B、 ${x ∣ 2 < x < 5}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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2. 复数 $z = (\sqrt{3} - i) {(1 + i)}^{3}$ ，则 $| z | =$ （　　）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 一个至少有3项的数列 ${a_{n}}$ 中，前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{1}{2} n (a_{1} + a_{n})$ 是数列 ${a_{n}}$ 为等差数列的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列说法正确的是（　　）

A、经过三点确定一个平面 B、各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C、各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D、一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形

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5. 二项式 ${(x + 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为20，则 $n =$ （　　）

A、7 B、6 C、5 D、4

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6. 将点 $A (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 得到点B，则点B的横坐标为（　　）

A、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{6 \sqrt{2}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，A和B分别为抛物线上的两个动点，若 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ （O为坐标原点），弦 $A B$ 恒过定点 $(4 ， 0)$ ，则抛物线方程为（　　）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 8 x$ D、 $y^{2} = 16 x$

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8. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丢一粒种子，则种子落入白色部分的概率为（　　）

A、 $\frac{23}{32}$ B、 $\frac{11}{16}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{9}{16}$

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9. 把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（　　）

A、20个 B、62个 C、63个 D、64个

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10. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15．如图所示．

一般地，将连续的正整数1，2，3，… $n^{2}$ 填入 $n \times n$ 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做 $n$ 阶幻方．记 $n$ 阶幻方的对角线上的数的和为 $N_{n}$ ，如图三阶幻方记为 $N_{3} = 15$ ，那么 $N_{11}$ 的值为（　　）

A、670 B、671 C、672 D、675

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交双曲线于M ， N两点 $(M$ 在第一象限），若 $△ M F_{1} F_{2}$ 与 $△ N F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径之比为3：2，则直线 $M N$ 的斜率为（　　）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 设 $a = 2 \sqrt{e}$ ， $b = \frac{2}{\ln 2}$ ， $c = \frac{e^{2}}{4 - \ln 4}$ 则（　　）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）．

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 在棱长为2的正四面体 $A B C D$ 中， $A E$ 是 $△ A B C$ 的高线，则异面直线 $A E$ 和 $C D$ 夹角的正弦值为．

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15. 正割（secant）及余割（cosecant）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割 $\sec α = \frac{1}{\cos α}$ ，余割 $\csc α = \frac{1}{\sin α}$ ．已知 $t > 0$ ，且 $\sec^{2} x + t \csc^{2} x \geq 16$ 对任意的实数 $x (x \neq \frac{k π}{2} ， k \in Z)$ 均成立，则 $t$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 3 | ， x \leq 0 \\ 2 x^{3} - 6 x + 3 ， x > 0 \end{array}$ ，设 $g (x) = k x + \frac{5}{2}$ ，且函数 $y = f (x) - g (x)$ 的图像经过四个象限，则实数 $k$ 的取值范围为．

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三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = \frac{2}{3} (4^{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，
设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ．

(1)、分别求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{4}{(b_{n} + 1) (b_{n} + 3)}}$ 的前前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 三角形 $A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $a^{3} + c^{3} = b^{2} a + b^{2} c$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积最大值．

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19. 近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为 $52.7 %$ ．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．

(1)、用 $X$ 表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、设 $A$ 为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件 $A$ 发生的概率．

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20. 如图，在多面体 $A B C E F M$ 中，底面 $A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，四边形 $A B F E$ 为矩形， $A E ⊥$ 面 $A B C$ ， $A E / / C M$ ， $A E = A C = 2 C M = 6$ ，N为 $A B$ 中点，面 $E M N$ 交 $B C$ 于点 $G$ ．

(1)、求 $C G$ 长；

(2)、求二面角 $B - E G - N$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的左右焦点， $P$ 为椭圆上的一个动点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $3 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 作与 $x$ 轴不垂直的直线 $l_{1}$ 交椭圆于A ， B两点，第一象限点 $M$ 在椭圆上且满足 $M F_{2} ⊥ x$ 轴，连接 $M A$ ， $M B$ ，记直线 $A B$ ， $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k$ ， $k_{1}$ ， $， k_{2}$ 探索 $\frac{k_{1} + k_{2}}{2} - k$ 是否为定值，若是求出；若不是说明理由．

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22. 设 $p$ ， $q > 1$ 满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，证明：

(1)、对任意正数 $x$ ，有 $\frac{x^{p}}{p} + \frac{1}{q} \geq x$ ；

(2)、对任意正数a ， b ，有 $\frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q} \geq a b$ ．

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