北师版数学九年级上册第一次月考试卷A卷

试卷更新日期：2021-09-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 2 = 0$ ，配方后可形为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 18$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 14$ C、 ${(x - 8)}^{2} = 64$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 1$

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2. 数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（）

A、用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形 B、用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形 C、用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形 D、用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

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3. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm² ，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）

A、（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B、（30﹣x）（40﹣x）＝600 C、（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D、（30﹣2x）（40﹣2x）＝600

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4. 折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（）

A、 $\frac{5}{3} \sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{7}{3} \sqrt{5}$ D、4 $\sqrt{5}$

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5. 若菱形两条对角线的长度是方程x²﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、25 D、5

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 $\sqrt{3}$ ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP ，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ D、3

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7. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - 5 x_{1} - 2 x_{2}$ 的值为（）

A、-7 B、-3 C、2 D、5

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 3$ ， $C D = 2$ ．连接AC ，过点B作 $B E // A C$ ，交DC的延长线于点E ，连接AE ，交BC于点F ．若 $∠ A F C = 2 ∠ D$ ，则四边形ABEC的面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、6 D、 $2 \sqrt{13}$

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9. 已知方程 $x^{2} - 2021 x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - \frac{2021}{x_{2}}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2021 D、-2021

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10. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：

a.两组对边分别相等        b.一组对边平行且相等

c.一组邻边相等        d.一个角是直角

顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c

则正确的是（   ）

A、仅① B、仅③ C、①② D、②③

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11. 关于x的方程 $x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{2} - m = 0$ 有两个实数根 $α$ ， $β$ ，且 $α^{2} + β^{2} = 12$ ，那么m的值为（）

A、-1 B、-4 C、-4或1 D、-1或4

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12. 如图所示，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 6$ ，点 $E 、 F$ 分别是矩形的边 $A D 、 B C$ 上的动点，将该纸片沿直线 $E F$ 折叠．使点 $B$ 落在矩形边 $A D$ 上，对应点记为点 $G$ ，点 $A$ 落在 $M$ 处，连接 $E F 、 B G 、 B E ， E F$ 与 $B G$ 交于点 $N$ ．则下列结论成立的是（）
① $B N = A B$ ；②当点 $G$ 与点 $D$ 重合时 $E F = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ；③ $△ G N F$ 的面积 $S$ 的取值范围是 $\frac{9}{4} \leq S \leq \frac{7}{2}$ ；④当 $C F = \frac{5}{2}$ 时， $S_{△ M E G} = \frac{3 \sqrt{13}}{4}$ ．

A、①③ B、③④ C、②③ D、②④

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二、填空题

13. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形 $A B C D$ 是矩形．

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15. 已知：m²﹣2m﹣1=0，n²+2n﹣1=0且mn≠1，则 $\frac{m n + n + 1}{n}$ 的值为．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $B C$ 、 $C D$ 上一点， $E F ⊥ A E$ ，将 $△ E C F$ 沿 $E F$ 翻折得 $△ E C^{'} F$ ，连接 $A C^{'}$ ，当 $B E =$ 时， $△ A E C^{'}$ 是以 $A E$ 为腰的等腰三角形.

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 70 °$ ，延长 $B C$ 到 $E$ ，在 $∠ D C E$ 内作射线 $C M$ ，使得 $∠ E C M = 15 °$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ C M$ ，垂足为 $F$ ，若 $D F = \sqrt{5}$ ，则对角线 $B D$ 的长为.（结果保留根号）

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三、解答题

19. 解方程： $x^{2} - x - 2 = 0$

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20. 解方程：(x-1)(2x+3)=(2x+3)．

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21. 解下列方程：

(1)、x²﹣6x﹣3＝0；

(2)、3x（x﹣1）＝2（1﹣x）.

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22. 如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F ，且AF＝AD ，连接BF ，求证：四边形ABFC是矩形．

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23. 已知关于x的一元二次方程x²-(m-3)x-m=0

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两实根为x₁、x₂ ，且x₁²+x₂²-x₁x₂=7，求m的值。

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点O是 $A D$ 的中点，连接 $CO$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点E ，连接 $A C$ 、 $D E$ ．

(1)、求证：四边形 $A C D E$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B = A C$ ，判断四边形 $A C D E$ 的形状，并说明理由．

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25. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．

(1)、若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

(2)、小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点D， $D E / / A B ， D F / / A C$ .

(1)、试判断四边形 $A F D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A F D E$ 的面积.

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