初中数学人教版九年级上册——22.3实际问题与二次函数③几何图形问题

试卷更新日期：2021-09-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边 $B C ， E F$ 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 $Δ A B C$ 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且0<x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC² ，则y关于x的函数的图象大致是（ )

A、 B、 C、 D、

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4. 如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = \frac{2}{3} B C = 4$ ，点 $P 、 Q$ 分别是 $B C 、 A B$ 上两动点，将 $△ P C D$ 沿着对折得，将沿着 $D P$ 对折得 $Δ P E D$ ，将 $Δ P B Q$ 沿着 $P Q$ 对折，使 $P 、 E 、 F$ 三点在一直线上，设 $B P$ 的长度为x， $A Q$ 的长度为y，在点p的移动过程中，y与x的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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5. 如图，已知二次函数y=mx²-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 如图，抛物线y=a(x-2)²+k(a<0)与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，作CD∥x轴交抛物线于点D，DE⊥x轴于点E，连结EF，则△AFO与△DFE的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，四边形EHFG的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）

A、y＝3 $\sqrt{3}$ x² B、y＝4 $\sqrt{3}$ x² C、y＝8x² D、y＝9x²

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8. 如图，抛物线y=﹣x²+mx+2m²（m＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点（点C与点A，B不重合），D是OC的中点，连结BD并延长，交AC于点E，则 $\frac{C E}{A E}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 已知抛物线y= $\frac{1}{4}$ x²+1其有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为(3，6)，P是抛物线y= $\frac{1}{4}$ x²+1上一动点，则△PMF周长的最小值是（）

A、5 B、9 C、11 D、13

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10.
如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm² ，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时， $y = \frac{2}{5} t^{2}$ ；③直线NH的解析式为 $y = - \frac{5}{2} t + 27$ ；④若△ABE与△QBP相似，则t= $\frac{29}{4}$ 秒。其中正确的结论个数为( )

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

11. 定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝时，四边形ABCD的面积最大.

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12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+3x+2与y轴交于点A，点B是拋物线的顶点，点C与点A是抛物线上的两个对称点，点D在x轴上运动，则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为。

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13. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，D、E分别是AB、AC边上的动点，且CE＝3BD，则△BDE面积的最大值为.

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A B = 10 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点P从点A沿 $A C$ 向点C以 $1 c m / s$ 的速度运动，同时点Q从点C沿 $C B$ 向点B以 $2 c m / s$ 的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动的过程中，四边形 $P A B Q$ 的面积的最小值为 $c m^{2}$ .

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15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)²与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的取值范围是。

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16. 如图，已知直线y=﹣ $\frac{3}{4}$ x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣ $\frac{3}{4}$ x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．

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三、解答题

17. 已知抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²-mx+c与x轴交于点A(x₁ ， 0)B(x₂ ， 0)，与y轴交于点C(0，c).若△ABC为直角三角形，求c的值

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18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{6} x^{2} + b x + c$ 经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).

(I)求抛物线的解析式及它的对称轴；

(Ⅱ)点 $P (0 ， n)$ 在线段OB上，点Q在线段BC上，若 $O P = 2 B Q$ ，且 $P A = Q A$ ，求n的值；

(Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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19.
如图，抛物线与x轴交于点A（﹣ $\frac{1}{3}$ ， 0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣ $\frac{1}{3} < t < 2$ ），求△ABN的面积s与t的函数解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．

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