初中数学人教版九年级上册——22.2二次函数与一元二次方程

试卷更新日期：2021-09-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数，且 $a \neq 0$ ）中的x与y的部分对应值如下表：

x

-1

0

1

3

y

-1

3

5

3

下列结论：① $a c < 0$ ；② $3 a + b = 0$ ；③当 $x > 1$ 时，y随着x的增大而减小；④-1和3是方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c = 0$ 的根，其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线 $y_{2} = m x + n$ （ $m \neq 0$ ）与抛物线交于A，B两点，下列结论：① $2 a + b = 0$ ； ②抛物线与x轴的另一个交点是（ $- 2$ ，0）；③方程 $a x^{2} + b x + c = 3$ 有两个相等的实数根；④当时 $1 < x < 4$ ，有 $y_{2} < y_{1}$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x^{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ；则 $x_{1} + x_{2} = 1$ .则命题正确的个数为（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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3. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + m x$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，若关于 $x$ 的一元二次方程 $- x^{2} + m x - t = 0$ （ $t$ 为实数）在 $1 \leq x \leq 3$ 的范围内有解，则 $t$ 的取值错误的是（）

A、 $t = 2.5$ B、 $t = 3$ C、 $t = 3.5$ D、 $t = 4$

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4. 若函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 5 = 0$ 的根的情况为（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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5. 已知二次函数y＝﹣ $x^{2}$ +bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x²+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（）

A、5 B、7 C、12 D、﹣7

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6. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - t = 0$ （t为实数）有且只有一个根在 $- 2 < x < 3$ 的范围内，则t的取值范围是（）

A、 $3 \leq t < 8$ B、 $- 1 \leq t < 8$ C、 $3 \leq t < 8$ 或 $t = - 1$ D、 $- 1 < t < 3$

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7. 已知二次函数y=ax²+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，则一定有（）

A、 $b^{2} - 4 ac > 0$ B、 $b^{2} - 4 ac = 0$ C、 $b^{2} - 4 ac < 0$ D、 $b^{2} - 4 ac \leq 0$

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8. 若方程ax²+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax²+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A、﹣3＜x＜1 B、x＜﹣3或x＞1 C、x＞﹣3 D、x＜1

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9. 根据下列表格的对应值：判断方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（）

x

6.17

6.18

6.19

6.20

ax²＋bx＋c

−0.03

−0.01

0.02

0.04

A、6.19<x<6.20 B、6.18<x<6.19 C、6.17<x<6.18 D、6<x<6.17

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10. 如图，一次函数y₁＝2x与二次函数y₂＝ax²+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax²+（b﹣2）x+c的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交点的坐标分别为 $(- 1, 0)$ ， $(3, 0)$ ，则一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的根为.

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12. 若一元二次方程2x²﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是.

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13. 抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）²﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为.

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14. 将二次函数 $y = x^{2} - 4 x + a$ 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位若得到的函数图象与直线 $y = 2$ 有两个交点，则a的取值范围是.

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15.
二次函数y=x²+bx的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x²+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是　．

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16. 如图，已知顶点为 $(-3，-6)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(-1，-4)$ ，下列结论：① $b^{2} > 4 a c$ ；② $a x^{2} + b x + c \geq - 6$ ；③若点 $(- 2 ， m) ， (- 5 ， n)$ 在抛物线上，则 $m > n$ ；④关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = - 4$ 的两根为 $- 5$ 和 $- 1$ ，其中正确的是.

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三、解答题

17. 已知二次函数 $y = x^{2} - m x + m - 2$ ．求证：不论 $m$ 为何实数，此二次函数的图象与 $x$ 轴都有两个不同交点．

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18. 已知二次函数 $y = m x^{2} - (m + 2) x + 2$ .

(1)、求证：二次函数的图象必过点 $Q (1 ， 0)$ ；

(2)、若点 $M (m ， y_{1})$ ， $N (m + 3 ， y_{2})$ 在函数图象上， $y_{2} = y_{1} + 30$ ，求该函数的表达式；

(3)、若该函数图象与x轴有两个交点 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ ，求证： ${(2 - x_{1} - x_{2})}^{2} > 0$ .

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19. 如图，抛物线y＝ax²+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

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x	6.17	6.18	6.19	6.20
ax²＋bx＋c	−0.03	−0.01	0.02	0.04