浙江省舟山市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ ，集合 $A = {2 ， 3 ， 5 ， 6}$ ，集合 $B = {1 ， 3 ， 4 ， 6 ， 7}$ ，则集合 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${2 ， 5}$ B、 ${3 ， 6}$ C、 ${2 ， 5 ， 6}$ D、 ${2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8}$

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2. “直线 $l$ 与平面 $α$ 内无数条直线垂直”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不必要也不充分条件

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3. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y \leq 2 \\ x - y \geq - 1 \\ - 1 \leq y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值为（）

A、11 B、8 C、13 D、6

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4. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 7)$ ， $\vec{c} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\vec{c} \cdot \vec{b}$ 为（）

A、3 B、24 C、21 D、4

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5. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）

A、10cm³ B、20cm³ C、30cm³ D、40cm³

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6. 函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{2^{x}} \cdot \sin x$ 的部分图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列.下列结论中正确的是（）

A、若 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} + a_{3} > 0$ B、若 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} < 0$ C、若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{3}}$ D、若 $a_{1} < 0$ ，则 $(a_{2} + a_{1}) (a_{2} - a_{3}) > 0$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin n x}{\sin x} (n \in N^{*})$ ，则下列结论错误的是（）

A、对于任意的 $n \in N^{*}$ ， $f (x)$ 总为偶函数 B、对于任意的 $n \in N^{*}$ ， $f (x)$ 总为周期函数 C、当 $n = 4$ 时， $f (x)$ 图像关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 中心对称 D、当 $n = 3$ 时，将 $y = f (x) - 1$ 图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $y = 2 \sin 2 x$ 的图像

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9. 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0，1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁ ，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂ ，若对任意x∈(0，1)，不等式t＜e₁＋e₂恒成立，则t的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为3， $E$ 为棱 $A B$ 上的靠近点 $B$ 的三等分点，点 $P$ 在侧面 $C C^{'} D^{'} D$ 上运动，当平面 $B^{'} E P$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $C C^{'} D^{'} D$ 所成的角相等时，则 $D^{'} P$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{9 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$

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二、填空题

11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，则其长轴长为，离心率为.

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12. 已知面数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x ， x \leq 2 \\ \log_{2} x - 1 ， x > 2 \end{array}$ 则 $f (4) =$ ，函数 $f (x)$ 的单调递减区间是.

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + n a_{n} = 2 n$ ，则 $a_{n} =$ ，数列 ${\frac{a_{n}}{n + 1}}$ 前 $n$ 项和是.

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14. 若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b + 2 = a b$ ，则 $\frac{3}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值是，此时 $b =$ .

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15. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 2$ ， $0 \leq λ \leq 1$ .若 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，则 $| \vec{a} - λ \vec{b} - (1 - λ) \vec{c} |$ 的取值范围是.

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16. 已知 $△ A B C$ 中， $B C = 8$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点， $B D = 3$ ， $A B = 2 A D$ ，当 $∠ B C A$ 最大时，则 $A B =$ .

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17. 已知函数 $f (x) = | a x + \frac{4}{x} + b |$ $(a ， b \in R)$ 在区间[1，4]上的最大值为 $M$ ，当 $M$ 取到最小值时则 $a + b^{2} =$ .

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + 2 \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值和函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上的取值范围.

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19. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B = A D = B D = 2$ ， $B C = C D = \sqrt{2}$ ，点 $A$ 在面 $B C D$ 上的射影位于 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、若点 $P$ 为 $A C$ 中点，求直线 $B P$ 与平面 $A C D$ 所成的角的余弦值.

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20. 已知等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{5}^{2}}{b_{1} + b_{6} + b_{8}} = 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n + 2} - 4$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若存在正数 $k$ ，使 $k T_{n} > (6 - n^{2}) a_{n}$ ，对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，一动圆 $C_{2}$ 过椭圆 $C_{1}$ 上焦点 $F$ ，且与直线 $y = - 1$ 相切.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程及动圆圆心轨迹 $C_{2}$ 的方程；

(2)、过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $l_{2}$ 交曲线 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求四边形 $P M O N$ 面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x$

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} + \frac{x^{2} - 6 x}{a} (a \in R)$ 在定义域内有两个不同的极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，令 $x_{1} < x_{2}$ 且 $x_{1} \neq 1$ ，总有 $(2 - t) (x_{1}^{2} - 2 x_{1} - 3) < \frac{a \ln x_{1}}{1 - x_{1}}$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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