高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章节检测

试卷更新日期：2021-09-03 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $l$ 是一条直线，以下结论正确的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $α / / β$ ，则 $l ⊥ β$ B、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l \subset β$ D、若 $l / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$

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2. 如图， $A B$ 为圆锥底面直径，点 $C$ 是底面圆 $O$ 上异于 $A ， B$ 的动点，已知 $O A = \sqrt{3}$ ，圆锥侧面展开图是圆心角为 $\sqrt{3} π$ 的扇形，当 $P B$ 与 $B C$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ 时， $P B$ 与 $A C$ 所成角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为 $12 π$ ，则该模型中球的体积为（）

A、 $8 π$ B、4π C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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4. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $P$ ， $Q$ 分别为棱 $A B$ ， $C_{1} D_{1}$ ， $D_{1} A_{1}$ ， $D_{1} D$ ， $C_{1} C$ 的中点.则下列叙述中正确的是（）

A、直线 $B Q / /$ 平面 $E F G$ B、直线 $A_{1} B / /$ 平面 $E F G$ C、平面 $A P C / /$ 平面 $E F G$ D、平面 $A_{1} B Q / /$ 平面 $E F G$

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5. 已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，体积为 $\frac{9}{4}$ ，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，若P为底面A₁B₁C₁的中心，则PA与平面A₁B₁C₁所成角的大小为（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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6. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ，若 $A A_{1} = \sqrt{2} ， A B = 2$ ，当阳马 $B - A_{1} A C C_{1}$ 的体积最大时，堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中异面直线 $A_{1} C ， A B$ 所成角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AM⊥平面A₁BD，垂足为M，以下四个结论中正确的个数为（）

①AM垂直于平面CB₁D₁；②直线AM与BB₁所成的角为45°；③AM的延长线过点C₁；④直线AM与平面A₁B₁C₁D₁所成的角为60°

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、 $\frac{1}{4}$

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二、多选题

9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = A A_{1} = 2$ ， $P ， Q ， R$ 分别是 $A B ， B B_{1} ， A_{1} C$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、对于任意给定的点P，存在点 $Q$ 使得 $D_{1} P ⊥ C Q$ B、对于任意给定的点Q，存在点 $R$ 使得 $D_{1} R ⊥ C Q$ C、当 $A R ⊥ A_{1} C$ 时， $A R ⊥ D_{1} R$ D、当 $A_{1} C = 3 A_{1} R$ 时， $D_{1} R //$ 平面 $B D C_{1}$

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10. 在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽 $20 \sqrt{3}$ 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）

A、斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 $120^{\circ}$ B、过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 $100 \sqrt{3}$ 平方厘米 C、若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 $1600 π$ 平方厘米 D、此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 $20 \sqrt{3} - 30$ 厘米

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $C D$ 上的动点．则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} E //$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$ B、 $E B_{1} ⊥ A D_{1}$ C、直线 $A E$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的范围为 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ D、二面角 $E - A_{1} B_{1} - A$ 的大小为 $\frac{π}{4}$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点E在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $F M // A_{1} C_{1}$ B、 $B M ⊥$ 平面 $C C_{1} F$ C、存在点E，使得平面 $B E F //$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ D、三棱锥 $B - C E F$ 的体积为定值

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三、填空题

13. 已知某圆锥底面圆的半径 $r = 1$ ，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为.

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14. 设 $l, m$ 是不同的直线， $α, β, γ$ 是不同的平面，则下列命题正确的是．
①若 $l ⊥ m, m ⊥ α$ ，则 $l ⊥ α$ 或 $l / / α$ .
②若 $l ⊥ γ, α ⊥ γ$ ，则 $l / / α$ 或 $l \subset α$ .
③若 $l / / α, m / / α$ ，则 $l / / m$ 或 $l$ 与 $m$ 相交.
④若 $l / / α, α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$ 或 $l \subset β$ .

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15. 如图所示，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，且 $A B = B C = 2$ ，则异面直线 $B C_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为．

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16. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 $\frac{2}{3}$ 的鳖臑 $A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，且 $A B = 2$ ， $C D = 1$ ，则该鳖臑外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C // A D$ ，且 $A D = 2 A B = 2 B C = 2 ，$
$∠ B A D = 90 ° ， △ P A D$ 为等边三角形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；点 $E 、 M$ 分别为 $P D 、 P C$ 的中点．

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $D M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值．

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18. 已知多面体 $E F - A B C D$ 中， $A D E F$ 为正方形，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $B C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $B D = 2$ .

(1)、证明： $A E ⊥ B F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $B C E$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 在图1所示的平面图形 $A B C D$ 中， $△ A B D$ 是边长为4的等边三角形， $B D$ 是 $∠ A D C$ 的平分线，且 $B D ⊥ B C$ ， $M$ 为 $A D$ 的中点，以 $B M$ 为折痕将 $△ A B M$ 折起得到四棱锥 $A - B C D M$ （如图2）．

(1)、设平面 $A B C$ 和 $A D M$ 的交线为 $l$ ，在四棱雉 $A - B C D M$ 的棱 $A C$ 上求一点 $N$ ，使直线 $B N // l$ ；

(2)、若二面角 $A - B M - D$ 的大小为 $60 °$ ，求平面 $A B D$ 和 $A C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C ， A C = B C = C C_{1} = 4.$

(1)、证明：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $A_{1} - A C - B_{1}$ 的余弦值.

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 是以 $A C$ 为底边的等腰三角形，将 $△ A B C$ 绕 $A B$ 转动到 $△ P A B$ 位置，使得平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，连接 $P C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $P A$ ， $C A$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥ A B$ ；

(2)、在① $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，②点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为3，③直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角 $E - B F - A$ 的余弦值．

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22. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $B B_{1} = 2$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、试确定线段 $A B_{1}$ 上一点 $N$ ，使 $A C //$ 平面 $B M N$ ；

(2)、在（1）的条件下，若平面 $A B C$ $⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ，求平面 $B M N$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成锐二面角的余弦值．

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