浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {y | y = x^{2} + 1 ， x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 5 ， 10}$

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2. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 2021$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2021} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{4} x$

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3. 下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）

A、 $y = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = 3^{x} - 3^{- x}$ D、 $y = x^{3} + 1$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，则“ $a_{1} > 0$ 且 $q > 1$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{| x |}{2} - \frac{1}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $△ A B C$ 的三内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足下列条件的 $△ A B C$ 有两解的是（）

A、 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $C = 60 °$ B、 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $A = 30 °$ C、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $A = 45 °$ D、 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c \in Z$

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7. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{a}{b}$ （）

A、有最小值为 $4 \sqrt{2} + 6$ B、有最小值为6 C、有最小值为 $\frac{14}{3}$ D、有最小值为7

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8. 已知三次函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ ，且 $f (2020) = 2020$ ， $f (2021) = 2021$ ， $f (2022) = 2022$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、2023 B、2027 C、2031 D、2035

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9. 如图，已知椭圆 $C$ ： $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ ，过椭圆 $C$ 上第一象限的点 $M$ 作椭圆的切线与 $y$ 轴相交于 $P$ 点， $O$ 是坐标原点，作 $P N ⊥ O M$ 于 $N$ .则 $| O M | \cdot | O N |$ （）

A、恒为定值 B、有最小值没最大值 C、有最大值没最小值 D、既没最大值也没最小值

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10. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $B C = 2$ ， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $D$ 、 $E$ 分别是线段 $A B$ 、 $A C$ 上异于端点的动点，且 $D E // B C$ ，现将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 折起至 $△ A^{'} D E$ ，使平面 $A^{'} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，当 $D$ 从 $B$ 滑动到 $A$ 的过程中，下列选项中错误的是（）

A、 $∠ A^{'} D B$ 的大小不会发生变化 B、二面角 $A^{'} - B D - C$ 的平面角的大小不会发生变化 C、三棱锥 $A^{'} - E B C$ 的体积先变大再变小 D、 $A^{'} B$ 与 $D E$ 所成的角先变大后变小

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二、填空题

11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点 $F$ 坐标为，以 $F$ 为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为.

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12. 某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是，其内切球半径为.

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13. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = \sqrt{5}$ ， $a_{2} + a_{2021} = 0$ ，则 $S_{2022} =$ ；当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n =$ .

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14. 已知点 $P (x ， y)$ 在不等式组 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 1 \end{array}$ 所表示的平面区域 $M$ 内运动，则区域 $M$ 的面积为， $z = 4 x - y$ 的最大值为.

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15. 已知函数 $f (x) = 4 \sin x \cdot \cos x$ ，若 $f (x) + f (x + a) = 0$ 恒成立，则正数 $a$ 的最小值是.

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16. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x - 2 | ， x \geq 0 \\ - x^{2} + a x ， x < 0 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f [f (x)]$ 恰有 $4$ 个零点，则实数 $a$ 的值为.

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17. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是平面上的单位向量，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | + | \vec{a} + \vec{b} |$ 的最大值是.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \cos x + \sqrt{3} \cos 2 x$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角 $△ A B C$ 中，设角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $f (A) = 0$ 且 $a = 3$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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19. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 为平行四边形， $B C = 2$ ， $B E = 4$ ， $A B = 2$ ， $M$ 是线段 $A C$ 的中点，点 $A$ 在平面 $B C D E$ 上的射影为线段 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $B M D$ ；

(2)、若直线 $A B$ 与平面 $B C D E$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，求二面角 $A - B D - M$ 的平面角的余弦值.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \frac{a_{2 n + 1}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并证明 $\frac{2}{3} \leq T_{n} \leq \frac{3}{2}$ .

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21. 如图，已知点 $P (2 ， 2)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 x$ 上一点，过点 $P$ 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $P A$ 的斜率为 $k (k > 0)$ .

（Ⅰ）若直线 $P A$ 、 $P B$ 恰好为圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，求直线 $P A$ 的斜率；

（Ⅱ）求证：直线 $A B$ 的斜率为定值.并求出当 $△ P A B$ 为直角三角形时， $△ P A B$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a \in R)$ .
（Ⅰ）若 $a = 2$ ，当 $x > 0$ 时，若不等式 $f (x) \cdot (x - 2) \geq 0$ 恒成立，求实数 $b$ 的值；

（Ⅱ）若 $b = 0$ ，且函数 $y = | f (x) |$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

（Ⅲ）若函数 $y = f (x)$ 的图像在 $[0 ， 2]$ 上与 $x$ 轴有两个不同的交点，求 $b^{2} + 2 a b + 4 b$ 的取值范围.

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