浙江省绍兴市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 2 < x < 5}$ ， $N = {x | - 3 \leq x \leq 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 2 < x \leq 3}$ B、 ${x | - 3 \leq x \leq - 2}$ C、 ${x | - 3 < x \leq 5}$ D、 ${x | 3 < x \leq 5}$

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2. 复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ （其中 $i$ 为虚数单位）的实部是（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程是

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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4. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的取值范围是（）

A、[-2，0] B、[0，2] C、[-2，2] D、 $[2，+ \infty)$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影是（）

A、-1 B、0 C、1 D、3

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6. “ $x = \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin x = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 函数 $y = | x | \cdot \sin x + x \cdot | \cos x |$ 在区间 $[- π ， π]$ 上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $B C$ 的中点，则在棱 $C C_{1}$ 上存在点 $F$ ，使得（）

A、 $A F // D_{1} E$ B、 $A F ⊥ D_{1} E$ C、 $A F //$ 平面 $C_{1} D_{1} E$ D、 $A F ⊥$ 平面 $C_{1} D_{1} E$

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9. 存在 $a ， b \in R$ ，使 $x \in [- 1 ， 2]$ 时恒有 $(| x + a | - b) (x^{2} + x - 2) \geq 0$ ，则（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a \geq 1$ C、 $b \leq 1$ D、 $b \geq 1$

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10. 已知递增数列 ${a_{n}}$ 的前100项和为 $S_{100}$ ，且 $a_{1} > 0$ ， $a_{100} = 2$ ，若当 $1 \leq i < j \leq 100$ 时， $a_{j} - a_{i}$ 仍是数列 ${a_{n}}$ 中的项（其中 $n ， i ， j \in N^{*}$ ），则（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{50}$ ，且 $S_{100} = 100$ B、 $a_{1} = \frac{1}{50}$ ，且 $S_{100} = 101$ C、 $a_{1} = \frac{1}{49}$ ，且 $S_{100} = 100$ D、 $a_{1} = \frac{1}{49}$ ，且 $S_{100} = 101$

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二、填空题

11. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ 的圆心坐标是，半径长是.

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12. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则一个直角三角形的面积是，直角三角形中最小边的边长是.

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13. 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰三角形，则该几何体的体积是 ${cm}^{3}$ ，侧面积是 ${cm}^{2}$ .

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14. 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ．若a= $\sqrt{7}$ ，b=2，A=60°，则sin B= ， c= ．

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15. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $x^{2} + 4 x y$ 的最大值是.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $| λ \vec{a} + \vec{b} | + | (1 - λ) \vec{a} - \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值是.

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17. 已知 $a > - 1$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - \ln (x + a) ， & x \geq 1 \\ x^{2} - a x + a^{2} ， & x < 1 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - 1$ 有三个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ .

(1)、当 $ω = 2$ 时，求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的周期为8，求 $f (x)$ 在区间[0，4]上的最大值和最小值.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B // C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $△ P A B$ 是等边三角形， $E$ 是棱 $A B$ 的中点， $A B = P D = 2$ ， $B C = C D = 1$ .

(1)、证明： $P E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} + a_{4} = a_{3} + 5$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} \cdot a_{n + 2} = b_{n} \cdot a_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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21. 如图，已知直线 $l$ 与抛物线 $M$ ： $x^{2} = 4 y$ 和椭圆 $N$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + x^{2} = 1 (a > 1)$ 都相切，切点分别为 $A$ ， $B$ .

(1)、求抛物线 $M$ 的焦点坐标和准线方程；

(2)、若 $A (4 ， 4)$ ， $P$ 是椭圆 $N$ 上异于 $B$ 的一点，求△ $P A B$ 面积的最大值.

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + 4 \ln (x + 1)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上存在两个不同的极值点.
①求 $a$ 的取值范围；

②若当 $x \geq 0$ 时恒有 $f (x) > t$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围.

（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ， $\ln 3 \approx 1.10$ ）

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