浙江省衢州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 2 < x < 1}$ ， $N = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 < x < 1}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 抛物线y²=2x的焦点坐标为（）

A、（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（0，1） C、（ $\frac{1}{2}$ ，0） D、（1，0）

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3. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，直线 $l \subset α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设角 $θ$ 的终边经过点 $P (\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ ，那么 $2 \sin θ + \cos θ$ 等于（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、1 D、-1

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5. 若变量 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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6. 如图，下列能表达这条曲线的函数是（）

A、 $f (x) = \frac{sin 5 x}{2^{- x} - 2^{x}}$ B、 $f (x) = \frac{cos x}{2^{x} - 2^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{cos 5 x}{| 2^{x} - 2^{- x} |}$ D、 $f (x) = \frac{sin 5 x}{| 2^{x} - 2^{- x} |}$

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7. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x - 3 ， x \leq 2 \\ \log_{2} (x - 1) ， x > 2 \end{array}$ ，则不等式 $f (x) > 2$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (5 ， + \infty)$ C、 $(5 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$

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8. 点 $P$ 、 $Q$ 分别在圆 $x^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 2$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，则 $P$ 、 $Q$ 两点间的最大距离是（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，点 $P$ 在长方体的侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动， $A P ⊥ B D_{1}$ ，则二面角 $P - A D - B$ 的平面角正切值的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{4}]$ B、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1]$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $| a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} | = | a_{1} - \frac{1}{2} | + | a_{2} - \frac{1}{2} | + \dots + | a_{n} - \frac{1}{2} | = | a_{1} + \frac{3}{2} | + | a_{2} + \frac{3}{2} | + \dots + | a_{n} + \frac{3}{2} | = 72$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、18 B、16 C、12 D、8

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二、填空题

11. 已知直线 $l_{1}$ ： $3 x + 4 y - 8 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $3 x - a y + 2 = 0$ ，且 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ ，两直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为．

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = 3$ ， $b = 7$ ， $B = 120^{\circ}$ ，则 $c =$ ； $△ A B C$ 的面积为．

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13. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为，体积为．

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14. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足： $a + b = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为； $\frac{2}{a + 1} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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15. 斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ ，与双曲线的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若线段 $F_{1} B$ 的垂直平分线经过右焦点 $F_{2}$ ，则双曲线的离心率为．

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16. 平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = | 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ，向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 ${cos}^{2} θ$ 的最小值为．

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17. 已知 $a ， b \in R$ ，若对于任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ ，不等式 $| x^{2} + 3 | x - a | + b | \leq 3$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - 1 (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ．
（Ⅰ）求 $ω$ 的值，并写出 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的一条对称轴方程；

（Ⅱ）在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ， $a = 3$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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19. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ，四边形 $C D E F$ 为矩形，平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

（Ⅰ）求证： $E D ⊥ B C$ ；

（Ⅱ）若 $B C = 2 A D = 2$ ， $A B = C F = \sqrt{3}$ ，求直线 $B F$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值．

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 a_{n} - S_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列， $b_{1} = 1$ ，公差 $d \neq 0$ ，且 $b_{2}$ ， $b_{5}$ ， $b_{14}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} + 1 > (2 n - 1) m + \frac{n}{2 n + 1}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $(\sqrt{3} ， 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l'$ ： $x - 2 y = 0$ 与椭圆 $C$ 在第一象限的交点为 $Q$ ，若 $2 S_{△ A Q B} = \tan ∠ A Q B$ ，求直线 $l$ 的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + b (a ， b \in R^{*})$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上不单调，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 3$ ， $b = 1$ 时，求函数 $g (x) = x + \sqrt{f (x)}$ 的值域；

(3)、设 $a > c > 0$ ，若关于 $x$ 的方程 $| f (x) | = c x$ 恰有三个不等实根，且函数 $g (x) = | f (x) | + c x$ 的最小值为 $\frac{1}{2} c^{2}$ ，求 $\frac{a}{c}$ 的值．

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