高中数学人教A版（2019）必修一第五章三角函数与解三角形章节检测

试卷更新日期：2021-09-03 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 若 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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2. 已知角α的终边经过点(-4,-3)，则 $\cos (\frac{π}{2} + 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧田面积= $\frac{1}{2}$ （弦×矢+矢×矢）.其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差.如图，现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为 $4 \sqrt{3}$ ，按照上述公式计算，所得弧田面积是（）

A、 $4 \sqrt{3} + 2$ B、 $4 \sqrt{3} + 3$ C、 $2 \sqrt{3} + 4$ D、 $2 \sqrt{2} + 4$

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4. 把函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin (x - \frac{π}{4})$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $\sin (\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12})$ B、 $\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $\sin (2 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $\sin (2 x + \frac{π}{12})$

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5. 已知函数 $f (x) = (a \sin x + \cos x) \cos x - \frac{1}{2}$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，则下列结论中正确的是（）.

A、 $(- \frac{7 π}{12} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 是最小正周期为 $π$ 的奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、先将函数 $y = 2 \sin 2 x$ 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，然后把所得函数图象再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，即可得到函数 $f (x)$ 的图象

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6. 若函数 $f (x) = sin \frac{ω x}{2} sin （ \frac{ω x}{2} + \frac{π}{2}) (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 内有且仅有一个最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 5)$ B、 $[1 ， 5)$ C、（0， $\frac{9}{2}$ ） D、 $[1 ， \frac{9}{2})$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $Δ A B C$ 为锐角三角形，且满足 $sin B (1 + 2 cos C) = 2 sin A cos C + cos A sin C$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $a = 2 b$ B、 $b = 2 a$ C、 $A = 2 B$ D、 $B = 2 A$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A = 30 °$ ， $B C$ 边上的高为1，则 $△ A B C$ 面积的最小值为（）

A、 $2 - \sqrt{5}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{5}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上只有1个零点 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (0 < ω \leq 3)$ 的图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{8}$ ， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $g (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 是函数 $g (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}$

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11. 将曲线 $y = s i n^{2} x - \sqrt{3} s i n (π - x) s i n (x + \frac{3 π}{2})$ 上每个点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍(纵坐标不变)，得到 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{2}$ 对称 B、 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域为 $[0 ， \frac{3}{2}]$ C、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $g (x)$ 的图象可由 $y = c o s x + \frac{1}{2}$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度得到

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12. 设函数 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x (a ， b \in R)$ ，则下列说法正确的有（）

A、当 $a = 1$ ， $b = 0$ 时， $f (x)$ 为奇函数 B、当 $a = 1$ ， $b = - 1$ 时， $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ C、若关于 $x$ 的方程 $a \sin 2 x + b \cos 2 x = m$ 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为 $π$ D、当 $a = 1$ ， $b = - \sqrt{3}$ 时， $f (| \frac{x}{2} |)$ 在区间 $(- 2 π ， 2 π)$ 上恰有4个零点

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三、填空题

13. 若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{\sin α - \cos α} =$ .

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14. 设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = cos x - 2 sin x$ 取得最大值，则 $\cos θ =$ .

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15. 如图为函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ， $x \in R$ ）的部分图象，则 $y = f (x)$ 函数解析式为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\tan A \tan B = 4 (\tan A + \tan B) \tan C$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} =$ .

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四、解答题

17. 已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (α) = \frac{\sin 2 α - 2 \cos^{2} α}{1 + \tan α}$ 的值；

(2)、若 $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\sin (\frac{3 π}{4} + β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $α + β$ 的值.

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18. 已知锐角 $Δ A B C$ 的外接圆半径为 $1$ ，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ 且 $\sqrt{3} a^{2} = 4 S + \sqrt{3} (c^{2} - b^{2})$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、求 $\frac{b c}{a}$ 的取值范围．

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19. 如图所示，在平面四边形ABCD（A，C在线段BD异侧）中， $∠ B A D = \frac{π}{6}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 4$ .

(1)、求BD的长；

(2)、请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）
①求四边形ABCD的面积的取值范围；

②求四边形ABCD的周长的取值范围；

③求四边形ABCD的对角线AC的长的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，若 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < π)$ 经过点 $(\frac{π}{12}, - 1),$ $(\frac{7 π}{12}, 1)$ ，且在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12})$ 上单调．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、设 $a_{n} = n f (\frac{n π}{3}) (n \in N^{*})$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前60项和 $S_{60}$ ．

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22. 已知函数 $h (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) ， g (x) = \cos (x + \frac{π}{6})$ ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的取值范围.
条件①： $f (x) = h (x) + \sqrt{3} g (x)$ ；条件②： $f (x) = h (x) \cdot g (x)$ ；条件③： $f (x) = h (x) - g (x)$ .

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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