浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-09-03 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知实数 $a = \log_{3} 2$ ， $b = \log_{2} π$ ， $c = \log_{2} \sqrt{10}$ ，则有（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

查看试题解析
2. 不论实数 $a$ 为何值时，函数 $f (x) = (a + 1) 2^{x} - \frac{a}{2}$ 图象恒过定点，则这个定点的坐标为（）

A、 $(1 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- 1 ， - \frac{1}{2})$

查看试题解析
3. 下列四个命题中是真命题的是（）

A、 $[- \frac{1}{3} ， + \infty)$ ， ${(\frac{1}{2})}^{x_{1}} < {(\frac{1}{3})}^{x_{1}}$ B、 $\exists x_{2} \in (1 ， + \infty)$ ， $\log_{\frac{1}{2}} x_{2} > \log_{\frac{1}{3}} x_{2}$ C、 $\forall x \in (0 ， \frac{1}{2})$ ， $x^{\frac{1}{2}} < \log_{\frac{1}{2}} x$ D、 $\forall x \in (0 ， 1)$ ， $x^{\frac{1}{2}} < x^{3}$

查看试题解析
4. 在 ${(x - 2 y)}^{7}$ 的展开式中，系数绝对值最大的项是（）

A、 $672 x^{2} y^{5}$ B、 $- 672 x^{2} y^{5}$ C、 $560 x^{3} y^{4}$ D、 $- 560 x^{3} y^{4}$

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x) \cdot \cos x$ 的部分简图为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生排在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（）

A、144 B、216 C、288 D、432

查看试题解析
7. 对于 $a$ ， $b \in N^{*}$ ，规定 $a \otimes b = {\begin{array}{l} a + b ， a 与 b 的奇偶性相同 \\ a \times b ， a 与 b 的奇偶性不同 \end{array}$ ，点集 $M = {(a ， b) | a \otimes b = 60 ， a ， b \in N^{*}} ，$ 从点集 $M$ 中任取一个点，在点横纵坐标有偶数的条件下，横纵坐标都是偶数的概率为（）

A、 $\frac{29}{37}$ B、 $\frac{29}{33}$ C、 $\frac{15}{19}$ D、 $\frac{15}{27}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的减函数，其导函数 $f' (x)$ 满足 $\frac{f (x) + x f' (x)}{f' (x)} < 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x) < 0$ 恒成立 B、当且仅当 $x \in (- \infty ， 1)$ 时， $f (x) < 0$ C、 $f (x) > 0$ 恒成立 D、当且仅当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) > 0$

查看试题解析
9. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下，若 $E (ξ) = 3$ ，则 $D (ξ)$ 的值可能是（）

$ξ$

1

2

4

$P$

$x$

$y$

$z$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

查看试题解析
10. 已知对任意的 $x \in [- 3 ， 3]$ ，恒有 $a x^{2} + b x - 3 a + 1 \geq 0$ 成立，则 $2 a + b$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

查看试题解析

二、填空题

11. 已知 $A = {x | (x + 3) (1 - x) > 0}$ ， $B = {x | y = \log_{2} (1 - x) ， x \in A}$ ，则 $A =$ ； $A \cup B =$ .

查看试题解析
12. 已知定义在 $R$ 上的奇函数，已知 $x > 0$ ， $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} + 2$ ，则 $f (- 1) =$ ，该函数的解析式为.

查看试题解析
13. 意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》（下图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线 $C$ 的解析式为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （ $e$ 为自然对数的底数）.若直线 $y = m$ 与双曲余弦曲线 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，曲线 $C$ 在 $A$ ， $B$ 两点处的切线相交于点 $P$ ，且 $△ A P B$ 为等边三角形，则 $m =$ ， $| A B | =$ .

查看试题解析
14. 已知 $a_{i} \in R (i = 0 ， 1 ， \dots ， 10)$ ，若 ${(x^{2} + x - 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9} =$ ； $a_{1} =$ .

查看试题解析
15. 将10个相同的小球放入A、B、C三个盒子，其中A盒子至少有1个小球，有种放法.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = \ln x + 3$ 和 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x + 7 (b > 1 ， b \in R)$ ，对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (1 ， 2)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | > | g (x_{1}) - g (x_{2}) |$ 成立，则实数 $b$ 的取值范围为.

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x - a + 2 ， x \geq 0 \\ \ln (- x) ， x < 0 \end{array}$ 和 $g (x) = x^{2} + 1 - 2 a$ ，有下列四个结论：
①当 $a = 1$ 时，若函数 $y = f (x) - m$ 有3个零点，则 $0 < m \leq 1$ ；

②当 $1 < a \leq 2$ 时，函数 $y = f (g (x))$ 有6个零点；

③当 $a = \frac{1}{2}$ 时，函数 $y = g (f (x))$ 的所有零点之和为-1；

④当 $a = 1$ 时，函数 $y = f (f (x))$ 有3个零点；

其中正确结论的序号为.

查看试题解析

三、解答题

18. 设全集为 $R$ ， $A = {x | (a x + 4) (x - 2 a + 3) > 0 ， a > 0}$ ， $B = {x | y = \sqrt{\frac{x + 2}{1 - x}}}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在正数 $k$ 和区间 $[m ， n] \subseteq D (n > m)$ ，使得函数 $f (x)$ 满足 ${x | y = f (x) ， x \in [m ， n]} = [k m ， k n]$ ，则称该函数为“ $k$ 倍函数”，区间 $[m ， n]$ 为“优美区间”.特别地，当 $k = 1$ 时，称该函数为“一致函数”.

(1)、若 $f (x) = \sqrt{2 x - 1}$ 是“ $k$ 倍函数"，求 $k$ 的取值范围；

(2)、已知函数 $h (x) = x^{2} - 2 a x + b (a ， b \in R)$ .若区间 $[1 ， a + 1]$ 为“一致函数” $h (x)$ 的“优美区间”，求 $a$ ， $b$ 的值.

查看试题解析
20.

(1)、计算求值： $C_{4 n}^{10 - 4 n} + C_{4 n}^{5 - n} + C_{{(n + 1)}^{2}}^{4} (n \in N^{*})$ ；

(2)、用数学归纳法证明： $\frac{1}{3} + \frac{2}{15} + \dots + \frac{n}{4 n^{2} - 1} > \ln \sqrt[4]{2 n + 1} (n \in N^{*})$ .（参考数值： $\ln 3 = 1.0986$ ）

查看试题解析
21. 甲盒中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球.

(1)、从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分.某人摸球4次，求该人得分 $ξ$ 的分布列以及数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、若同时从甲、乙两盒中各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ ，求数学期望 $E (ξ_{1})$ ， $E (ξ_{2})$ .

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x \ln 2 x - a x^{2} - x (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、若 $a > 0$ ，且对任意正数 $x$ 都有 $e^{3 a x} - \frac{\ln 3 x}{a} \geq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.（ $e$ 为自然对数的底数）.

查看试题解析

$ξ$	1	2	4
$P$	$x$	$y$	$z$