浙江省丽水市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， \pm 1)$ B、 $(\pm 1 ， 0)$ C、 $(0 ， \pm \sqrt{5})$ D、 $(\pm \sqrt{5} ， 0)$

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3. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $16 + \frac{4 π}{3} $ B、 $16 + \frac{2 π}{3}$ C、 $32 + 4 π$ D、 $32 + 2 π $

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4. 已知实数 $a = 2^{\frac{1}{4}}$ ， $b = \log_{3} \frac{1}{4}$ ， $c = \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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5. 已知直线 $a$ ， $b$ ， $l$ 和平面 $α$ ， $a \subset α ， b \subset α$ ，则 $“ l ⊥ a ， l ⊥ b ”$ 是 $“ l ⊥ α ”$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $f (x) = \frac{x cos x}{x^{2} - 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 直线 $m x - y + 1 = 0$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、与 $m$ 的值有关

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8. 为了得到 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，只需将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位

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9. 已知菱形 $A B C D$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $E$ 为边 $A B$ 上的点（不包括 $A ， B$ ），将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折，在翻折过程中，记直线 $B D$ 与 $C E$ 所成角的最小值为 $α$ ，最大值为 $β$ （）

A、 $α ， β$ 均与 $E$ 位置有关 B、 $α$ 与 $E$ 位置有关， $β$ 与 $E$ 位置无关 C、 $α$ 与 $E$ 位置无关， $β$ 与 $E$ 位置有关 D、 $α ， β$ 均与 $E$ 位置无关

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10. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 2$ ， $| \vec{c} - \vec{b} | = 1$ ，且对于任意的 $x \in R$ ，恒有 $| \vec{c} - x \vec{a} | \geq | \vec{c} - \vec{a} |$ ，若 $\vec{c} = 2 λ \vec{a} + μ \vec{b}$ $(λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 4]$ C、 $[\frac{2}{3} ， 2]$ D、 $[\frac{5}{8} ， \frac{2}{3}]$

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二、填空题

11. 南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为 $a ， b ， c$ ，那么三角形的面积 $s = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，后人称之为秦九韶公式.这与古希腊数学家海伦证明的面积公式 $(s = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ， $p = \frac{a + b + c}{2})$ 实质是相同的.若在 $△ A B C$ 中， $B C = 7$ ， $A C = 5$ ， $A B = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为， $△ A B C$ 的内切圆半径为.

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12. 设变量 x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则函数 $z = y + 2 x$ 的最大值为，最小值为.

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x ， x > 0 \\ 3^{- x} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ ；若 $f (x) = - 1$ ，则 $x =$ .

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d > 0$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列，则 $a_{n} =$ .若数列 ${b_{n}}$ 的通项 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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15. 为了测量河对岸两点 $C ， D$ 间的距离，现在沿岸相距 $2 k m$ 的两点 $A ， B$ 处分别测得 $∠ B A D = 105 ° ， ∠ B A C = 60 ° ， ∠ A B D = 45 ° ， ∠ A B C = 60 °$ ，假设 $A ， B ， C ， D$ 四点在同一平面内，则 $C ， D$ 间的距离为 $(k m)$ .

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过右焦点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{F B}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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17. 已知正数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + 4 y^{2} + 2 x y = 1$ ，则 $\frac{x y}{x + 2 y}$ 的最大值为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x + \sin^{2} x$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、求 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面为直角梯形 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D = A B = A D = 2 C D$ ， $E ， F$ 分别为 $P D ， B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F$ //平面 $P A B$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} + S_{n} = a_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的首项 $b_{1} = 1$ ，且满足 $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求证：数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < 3$ .

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有公共焦点，并交于 $A ， B$ 两点.不与 $x$ 轴垂直的直线 $l$ 交抛物线于 $P ， Q$ 两点，且 $P Q$ 的中点 $M$ 在椭圆上， $P Q$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $T$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、求点 $T$ 横坐标的取值范围.

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22. 已知函数 $f_{λ} (x) = {(x - λ)}^{2} - λ$ ， $λ \in R$ ，设 $g (x) = f_{a} (x) + f_{b} (x) - | f_{a} (x) - f_{b} (x) |$ .

(1)、若 $a = - 1 ， b = 3$ ，且当 $x \in [a ， b]$ 时，求 $g (x)$ 的最大值；

(2)、若存在实数 $b$ ，对任意的实数 $a \in (- 2 ， - 1)$ ，使得方程 $g (x) + 2 a - b = 0$ 恒有四个不同的实数解，求 $b$ 的最小值.

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