浙江省金华十校2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | x^{2} - 5 x - 6 \leq 0}$ ， $Q = {x | 3^{x} \geq 1}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 6}$ D、 ${x | - 6 \leq x \leq 0}$

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2. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点 $(- 3 ， 4)$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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3. 人西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 $v = \frac{1}{2} \log_{3} \frac{U}{100}$ ，单位是 $m / s$ ，其中 $U$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，则当鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，鲑鱼的游速是（）

A、 $\frac{1}{2} m / s$ B、 $1 m / s$ C、 $\frac{3}{2} m / s$ D、 $2 m / s$

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4. 已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则双曲线的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$

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5. 设 $m$ ， $n$ 是两条直线， $α$ 是平面，已知 $m // α$ ，则 $n ⊥ m$ 是 $n ⊥ α$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $f (x) = \ln | x | \cdot \sin x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $a ， b \in R$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ ， $a \neq \pm b$ ，则 $\frac{1}{{(a + b)}^{2}} + \frac{1}{{(a - b)}^{2}}$ （）

A、有最大值，无最小值 B、有最大值，有最小值 C、无最大值，有最小值 D、无最大值，无最小值

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3 n + 2} = a_{n} + 2$ ， $a_{3 n + 1} = a_{3 n} = a_{n}$ ，则 $a_{2021} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3} B C$ ， $\frac{C E}{D E} = \frac{A F}{B F} = \frac{1}{2}$ ， $E F \cap B D = O$ ．将梯形ADEF沿着EF翻折成梯形 $A^{'} D^{'} E F$ ，则 $A^{'} C$ 与平面 $B O D^{'}$ 所成角可以是（）

A、90° B、75° C、45° D、30°

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10. 如图， $∠ P O Q = 60 °$ ，等边 $△ A B C$ 的边长为2，M为BC中点，G为 $△ A B C$ 的重心，B ， C分别在射线OP ， OQ上运动，记M的轨迹为 $C_{1}$ ，G的轨迹为 $C_{2}$ ，则（）

A、 $C_{1}$ 为部分圆， $C_{2}$ 为部分椭圆 B、 $C_{1}$ 为部分圆， $C_{2}$ 为线段 C、 $C_{1}$ 为部分椭圆， $C_{2}$ 为线段 D、 $C_{1}$ 为部分椭圆， $C_{2}$ 也为部分椭圆

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二、填空题

11. 已知直线 $l ： y = k x + 1$ ，圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 12$ ．则直线 $l$ 恒过定点，直线 $l$ 被圆C截得的最大弦长为．

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12. 2020年新冠疫情爆发肆虐期间，江苏某定点医院每天因患疑似新冠肺炎而入院进行核酸检测的人数依次构成数列 ${a_{n}}$ ，其前n项的和为 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 8$ ， $n \in N *$ ，则该医院在前3天内因患疑似新冠肺炎核酸检测就诊的总人数共人，数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，最长的棱长为．

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq - 2 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ 3 x + y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ ，则可行域面积为， $z = x - 2 y$ 的取值范围是．

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三、填空题

15. 若将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{9}$ 个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则正实数 $ω$ 的最小值是．

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16. 已知平面向量 $\vec{α} ， \vec{β} (\vec{α} \neq 0 ， \vec{β} \neq 0)$ ， $\vec{β}$ 与 $\vec{α} - \vec{β}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $| \vec{α} - t \vec{β} | = | t \vec{β} | (t > 0)$ ，则 $t$ 的最小值是．

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17. 若关于 $x$ 的不等式 $(e^{x} - a - 1) (x + a + b) \leq 0$ 在 $(a ， b)$ 上恒成立，则 $a + 2 b$ 的最大值是．

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四、解答题

18. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $b = \sqrt{3}$ ， $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、证明 $a + c$ 不可能等于3．

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19. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AB=BC=AA₁=3， $A C = 2$ ， $B_{1} C = 2 \sqrt{7}$ ，面 $A_{1} B C_{1} ⊥$ 面 $B B_{1} C_{1} C$ ．

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求直线 $B_{1} C$ 与面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $(n + 1) S_{n + 1} - (n + 3) S_{n} = n + 1$ ．

(1)、求证： ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、求证： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < 2$ ．

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21. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $P (2 ， y_{0})$ 到其焦点 $F$ 的距离为 $2$ ，过点 $T (t ， 0) (t > 0)$ 作两条斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与该抛物线交于 $A$ ， $B$ 与 $C$ ， $D$ 两点，且 $k_{1} + k_{2} = 0$ ， $S_{△ F A B} = S_{△ F C D}$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、求实数 $t$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (a - 2 e) x - 2 a x^{2}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2})$ 内存在零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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