浙江省湖州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集为实数集 $R$ ，集合 $A = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0}$ D、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x - 3} ， x > 3 \\ x^{2} + 1 ， x \leq 3 \end{array}$ ，则 $f [f (2)] =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{11}{2}$ D、26

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3. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $0 < a < b < 1$ ，则 $a^{b}$ ， $a^{a}$ ， $b^{a}$ 的大小关系是（）

A、 $a^{b} < a^{a} < b^{a}$ B、 $a^{a} < a^{b} < b^{a}$ C、 $b^{a} < a^{a} < a^{b}$ D、 $b^{a} < a^{b} < a^{a}$

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4. 已知 $\sin (\frac{π}{2} + α) = 2 \sin (π - α)$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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5. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期是 $π$ ，若将该函数的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的函数图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称，则函数 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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6. 设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \\ x + y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = | x - 2 y |$ 的最大值与最小值的和是（）

A、3 B、5 C、6 D、7

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 1}$ ，则 $a_{2021} =$ （）

A、 $\frac{1}{2019}$ B、 $\frac{1}{2020}$ C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $\frac{1}{2022}$

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8. 甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为 $E (X)$ ， $D (X)$ ，摸出红球个数Y的均值和方差分别为 $E (Y)$ ， $D (Y)$ ，则（）

A、 $E (X) > E (Y)$ ， $D (X) > D (Y)$ B、 $E (X) < E (Y)$ ， $D (X) > D (Y)$ C、 $E (X) > E (Y)$ ， $D (X) = D (Y)$ D、 $E (X) < E (Y)$ ， $D (X) < D (Y)$

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9. 某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（）

A、51种 B、45种 C、48种 D、42种

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10. 若存在正实数x，y使得不等式 $\ln x - x^{2} + 1 \geq \ln y + \frac{4}{y^{2}} - \ln 4$ 成立，则 $x + y =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

11. 在复平面内，复数z=i(1+2i)（i是虚数单位）的虚部是，复数z的模等于.

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12. 一个暗箱内有标号是1，2，3，4，5的五个小球，现从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两个球的号码和是5的倍数，则获奖.若有5人参与摸奖，则恰有3人获奖的概率是，获奖人数的均值是.

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13. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 n - 1}{3 n + 2} a_{n}$ ，则 $a_{n} =$ ，数列 ${a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ 的前10项和是.

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14. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = | x + 1 | - | x - a |$ .若 $f (x)$ 是奇函数但不是偶函数，则 $a =$ ；若 $f (x) \leq 3$ 对一切实数x都成立，则a的取值范围是.

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15. 在 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $\frac{\tan A - \tan B}{\tan A + \tan B} = \frac{c - b}{c}$ ，则角A的余弦值是.

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16. 若函数 $f (x) = e^{x + 1} - a x + b - a$ （a，b为实数，e为自然对数的底数）在 $x = - 1$ 处取得极值-1，且当 $x > - 2$ 时， $f (x) + 2 > k (x + 2)$ 恒成立，则整数k的最大值是.

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三、解答题

17. 已知O，A，B为平面上三点，若 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 2$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2$ ，动点P和实数 $λ$ ， $μ$ 满足 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ， $1 \leq λ \leq 2$ ， $2 \leq μ \leq 4$ ，则动点P轨迹的测度是.（注：当动点的轨迹是曲线时，其测度指其长度；当动点的轨迹是平面区域时，其测度指该区域面积.）

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 2 b x + 1$ ，其图象上点 $P (1 ， - 4)$ 处的切线的斜率是-5.

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上的最大与最小值.

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19. 已知二项式 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项系数的和是 $\frac{7}{4}$ .

(1)、求n的值和展开式中所有项的系数和S；

(2)、求展开式中含x的整数次幂的所有项.

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20. 已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的菱形，且 $A A_{1} = 4$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $D_{1} A = D_{1} C = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $A C ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求 $A B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值.

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21. 如图，点P是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 在第一象限内的动点，过点P作圆 $M ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的两条切线，分别交抛物线的准线l于点A，B.

(1)、当 $∠ A P B = 90 °$ 时，求点P的坐标；

(2)、当点P的横坐标大于4时，求 $△ P A B$ 面积S的最小值.

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22. 已知 $a > 0$ ， $f (x) = \ln (a x + b)$ .

(1)、当直线 $y = x$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象相切时，求实数 $b$ 关于 $a$ 的关系式 $b = g (a)$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \leq x$ 恒成立，求 $a b$ 的最大值；

(3)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，若 $f (x - 1) \leq - 2 m x + \frac{4 m}{e} e^{x} - 4 + 2 m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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