高中数学人教A版（2019）选择性必修一空间向量与立体几何单元测试

试卷更新日期：2021-09-02 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知点 $A (- 3, 1, - 4)$ ， $B (3, - 5, 10)$ ，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(0, - 4, 6)$ B、 $(0, - 2, 3)$ C、 $(0,2,3)$ D、 $(0, - 2, 6)$

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2. 如果向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 4 ， 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， - 1 ， m)$ 共面，则实数 $m$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-5 D、5

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3. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 $\vec{a}$ = $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ，向量 $\vec{b} =$ $\vec{O A} + \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则不能与 $\vec{a}, \vec{b}$ 构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{O A}$ B、 $\vec{O B}$ C、 $\vec{O C}$ D、 $\vec{O A}$ 或 $\vec{O B}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (0 ， 3 ， 3)$ 和 $\vec{b} = (- 1 ， 1 ， 0)$ 分别是直线 $l$ 和 $m$ 的方向向量，则直线 $l$ 与 $m$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 若向量 $\vec{a} = (1 ， λ ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， - 2) ，$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则λ等于（　　）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，B₁E＝ $\frac{1}{4}$ A₁B₁ ，则 $\vec{B E}$ 等于（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4} ， - 1)$ B、 $(- \frac{1}{4} ， 0 ， 1)$ C、 $(0 ， - \frac{1}{4} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{4} ， 0 ， - 1)$

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7. 设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, y, 1)$ ， $\vec{c} = (2, - 2, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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8. 已知正四面体 $D - A B C$ 的各棱长为1，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E C} \cdot \overset{⇀}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$

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二、多选题

9. 已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M，N，O三点共线，则O点坐标可能为（）

A、(3，5，-2) B、(-4，-5，6) C、( $- \frac{5}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- 2$ ) D、(0，3，2)

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10. 空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A、点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 关于坐标平面 $x O y$ 的对称点的坐标为 $(- 1 ， 2 ， - 3)$ B、点 $Q (1 ， 0 ， 2)$ 在平面 $x O z$ 面上 C、 $z = 1$ 表示一个与坐标平面 $x O y$ 平行的平面 D、 $2 x + 3 y = 6$ 表示一条直线

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11. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，以D为原点， $\vec{D A}$ ， $\vec{D C}$ ， $\vec{D D_{1}}$ 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A、 $B_{1}$ 的坐标为(2，2，3) B、 $\vec{B C_{1}}$ =(-2，0，3) C、平面 $A_{1} B C_{1}$ 的一个法向量为(-3，3，-2) D、二面角 $B - A_{1} C_{1} - B_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{22}}{11}$

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12. 设动点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上，记 $\vec{D_{1} P} = λ \vec{D_{1} B}$ 当 $∠ A P C$ 为钝角时，则实数可能的取值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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三、填空题

13. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $F$ 在线段 $A D$ 上移动，异面直线 $B_{1} C$ 与 $E F$ 所成角最小时，其余弦值为.

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14. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为1，且 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，则点 $B_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离为.

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15. 如图，二面角 $α - l - β$ 为 $135 °$ ， $A \in α$ ， $B \in β$ ，过 $A$ ， $B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $C$ ， $D$ ，若 $A C = 1$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $C D = 2$ ，则 $A B$ 的长度为.

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16. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面ABCD ，底面ABCD是正方形，且 $P D = 1$ ， $A B = 3$ ，G是 $△ A B C$ 的重心，则PG与面PAB所成角 $θ$ 的正弦值为.

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四、解答题

17. 如图，在以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的多面体中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{6}$ ， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F D // E A$ ， $E A = \frac{1}{2} F D = \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $B E //$ 平面 $C D F$ ；

(2)、求二面角 $C - E F - D$ 的余弦值.

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18. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面是等腰直角三角形， $A B = 2 ，$ $∠ A C B = 90 °$ ，侧棱 $B B_{1} = 2 ，$ $D ， E$ 分别是 $C C_{1} ， A_{1} B$ 的中点.

(1)、求平面 $A E D$ 与平面 $A E C_{1}$ 的夹角的余弦.

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $A D E$ 所成角的余弦值.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ 和 $A B$ 上动点，且 $A E = B F$ .

(1)、求证： $B_{1} E ⊥ C_{1} F$ ；

(2)、若 $A E = 2 E C$ ，求二面角 $A_{1} - E F - A$ 的平面角的余弦值.

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $S A$ ⊥平面 $A B C D$ ，
$A B = 1 ， A D = A S = 2$ ， $P$ 是棱 $S D$ 上一点，且 $S P = \frac{1}{2} P D$ .

(1)、求直线 $A B$ 与 $C P$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的余弦值．

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21. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $B C = B D = 1 ， A B = \sqrt{2}$ ，直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离；

(2)、求平面 $A_{1} B D$ 与平面 $C_{1} B D$ 的夹角的余弦值.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = A P$ ， $E$ 为棱 $P B$ 的中点.

(1)、求直线 $P D$ 与 $C E$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $E - A C - P$ 的余弦值.

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