浙江省杭州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 6}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${1 ， 2 ， 5 ， 6}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6}$

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2. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x - 1 (x \leq 1) \\ 2^{x} (x > 1) \end{array}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. $\sin 240 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、-1 C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$ D、 $- \frac{3}{2}$

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4. 已知 $x \in R$ ，则“ $x > 2021$ ”是“ $x > 2020$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \leq 2 \\ y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 10 ， 2]$ B、 $[- 10 ， 5]$ C、 $[2 ， 5]$ D、 $[- 10 ， 4]$

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6. 为了得到函数 $y = \sin (3 x + \frac{π}{3})$ 的图象，可将函数 $y = \sin 3 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{9}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{9}$ 个单位

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7. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{D C} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{B P} = 2 \vec{P D}$ ，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 等于（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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8. 对于空间的两条直线 $m ， n$ 和一个平面 $α$ ，下列命题中的真命题是（）

A、若 $m / / α ， n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α ， n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α ， n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ D、若 $m / / α ， n \subset α$ ，则 $m / / n$

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9. 函数 $f (x) = \frac{x \sin x}{1 + 2^{| x |}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在凸四边形 $A B C D$ 中，若 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $D A = 4$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，则 $\cos ∠ B C D =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{7}}{14}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ C、 $- \frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$

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11. 已知圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ．设 $P$ 是直线 $l$ ： $3 x + 4 y + 8 = 0$ 上的动点， $P A$ 是圆 $M$ 的切线， $A$ 为切点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ ， $Q$ 为第一象限内椭圆上的两个点，且 $∠ O F P = ∠ P F Q = 60 °$ ， $F P = 2 F Q$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = n$ ，则（）

A、 $S_{2} = 2$ B、 $S_{24} = 144$ C、 $S_{31} = 243$ D、 $S_{60} = 660$

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15. 设函数 $f (x)$ 为单调函数，且 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，均有 $f (f (x) + \frac{2}{x}) = 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、-3 B、-2 C、-1 D、0

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二、填空题

16. 2log₅10+log₅0.25= ．

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17. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F (5 ， 0)$ 到渐近线的距离为4，则实轴长为．

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{6}$ ， $| \vec{A B} - \vec{A C} | = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围为．

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19. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $C D ⊥ B C$ ， $A B ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ，若四面体 $A B C D$ 的外接球半径为 $\sqrt{5}$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为．

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三、解答题

20. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x + \cos^{2} x$ ．
（Ⅰ）若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，且 $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $f (α)$ 的值；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间．

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21. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 是各项为正数且首项为2的等比数列， $b_{2} + b_{3} = 12$ ， $b_{3} = a_{4} - 2 a_{1}$ ， $a_{6} = b_{4}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $b_{1} b_{2} - b_{2} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n + 1} b_{n} b_{n + 1}$ .

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22. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S C = 4 B C$ ， $∠ S C A = ∠ A C B = \frac{π}{3}$ ．

（Ⅰ）证明： $∠ S B C = \frac{π}{2}$ ；

（Ⅱ）求直线 $A C$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值．

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23. 如图，过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与直线 $x = - 1$ 交于点 $P$ （ $| A F | > | B F |$ ）．过点 $P$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ．

（Ⅰ）证明： $A B ⊥ M N$ ；

（Ⅱ）求四边形 $B N A M$ 面积的最小值．

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24. 设函数 $u (x) = 4 - x^{2}$ ， $x \in [- 2 ， 2]$ ， $v (x) = λ (x + a) (0 < λ \leq 2 ， a \leq 1)$ ．
（Ⅰ）讨论函数 $f (x) = \frac{v (x)}{u (x)}$ 在 $(- 2 ， 2)$ 上的奇偶性；

（Ⅱ）设 $g (x) = | λ u (x) - \frac{v (x)}{λ} + 1 |$ ，若 $g (x)$ 的最大值为 $\frac{5}{2}$ ，求 $λ + a$ 的取值范围．

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