广东省肇庆市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $Y = 4 X + 7 ， E (Y) = 15$ ，则 $E (X) =$ （）

A、67 B、11 C、2 D、1

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2. 已知函数 $f (x) = - x^{4} + 8 x^{2} + 2021$ ，则 $f (x)$ 在下列区间上为增函数的是（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(2 ， 4)$

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3. “仁､义，礼﹑智﹑信”为儒家“五常”，由孔子提出.现将“仁､义､礼､智､信”五个字排成一排﹐则“礼､义”相邻﹐且“智﹑信”相邻的排法种数为（）

A、24 B、32 C、36 D、48

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = 2 x + 5$ ，则 $f (2) + f^{'} (2) =$ （）

A、14 B、11 C、10 D、9

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5. 设 $n \in N^{*} ，$ $C_{n}^{0} \cdot 3^{n} - C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 1} \cdot 2^{1} + C_{n}^{2} \cdot 3^{n - 2} \cdot 2^{2} + \dots + {(- 1)}^{k} \cdot C_{n}^{k} \cdot 3^{n - k} \cdot 2^{k} + \dots + {(- 1)}^{n} \cdot C_{n}^{n} \cdot 2^{n} =$ （）

A、 $5^{n}$ B、 $- 5^{n}$ C、1 D、-1

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6. 某学校学生服务中心为了解在校学生对学校后勤工作的满意度﹐随机调查了200名学生，其中男女生比例为3：2并对这些学生进行了问卷调查，学生对后勤工作给出了满意或不满意的总体评价﹐得到下面的2×2列联表：

	满意	不满意	总计
男生	104
女生		24
总计			200

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

则下列说法正确的是（）

A、2×2列联表中男生不满意的人数为18 B、2×2列联表中女生满意的人数为54 C、没有99.5%的把握认为男生与女生对后勤工作的评价有差异 D、有99.5%的把握认为男生与女生对后勤工作的评价有差异

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7. 从 $3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12$ 这10个数中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 下列不等式中，不恒成立的是（）

A、 $e^{x + 2} \geq x + 3 (x \in R)$ B、 ${(x + 1)}^{2} > \ln (x + 1) (x > - 1)$ C、 $\ln (x + 2) \leq x + 1 (x > - 2)$ D、 $e^{x} \geq \sin x + \frac{1}{8} (x \in R)$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的实部为 $\frac{1}{2}$ B、 $| z | = \frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\bar{z} = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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10. 在 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{8}$ 的二项展开式中，下列说法正确的是（）

A、展开式中各项的二项式系数之和为256 B、展开式中第4项的二项式系数最大 C、展开式中含 $x^{4}$ 项的系数为70 D、展开式中常数项为56

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11. 已知函数 $f (x) = (3 x - 5) e^{x}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 的极小值点为 $x = \frac{2}{3}$ C、函数 $f (x)$ 无极大值 D、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最大值为-5

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12. 某果园引入数字化管理系统，对果园规划，果树种植､环境监测､生产销售等进行统一管理.经数据分析师建模.测算﹐果园内某种热带水果的年产量为 $x (6 \leq x \leq 12)$ 万斤，年成本为 $C = \frac{1}{6} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 17 x + 5$ 万元，单价 $Q$ (万元/万斤)是与产量 $x$ 相关的随机变量，其分布列为：

$Q$

$30 - 0.5 x$

$25 - 0.5 x$

$20 - 0.5 x$

$P$

0.5

0.4

0.1

利用该模型进行分析﹐下列说法正确的是（）

A、期望 $E (Q)$ 随着年产量 $x$ 的增大而减小，最高为24万元/万斤 B、年成本 $C$ 随着年产量 $x$ 的增大而减小 C、方差 $D (Q)$ 为定值 D、利用该模型估计，当年产量 $x = 10$ 时，该果园年利润 $W$ 取得最大值，最大利润约为136万元

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三、填空题

13. 设随机变量 $X ~ N (5 ， σ^{2})$ ，若 $P (X > 7) = 0.2$ ，则 $P (3 \leq X \leq 5) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = 2 x \cos x + 4 \sin x$ ，则 $f^{'} (0) =$ .

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15. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动，该校高二年级共8个班分别到3个革命老区开展研学游，每个班级只能去1个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级﹐则不同的安排方法有种(用数字作答).

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16. 若当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，不等式 $2 e^{2 x} - (x + m) e^{x} + 1 \leq 0$ 恒成立﹐则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 《全民健身计划》(以下简称《计划》)每五年一规划，就今后一个时期深化体育改革､发展群众体育﹑倡导全民健身新时尚，推进健康中国建设作出部署.《计划》要求，各地要加强对全民健身事业的组织领导，建立完善实施全民健身计划的组织领导协调机制，要把全民健身公共服务体系建设摆在重要位置，纳入当地国民经济和社会发展规划及基本公共服务发展规划，把相关重点工作纳入政府年度民生实事并加以推进和考核.某单位响应《计划》精神﹐为缓解员工的精神压力与身体压力､提升工作效率，在办公楼内设置了专业的员工健身房，要求员工每周在健身房锻炼120分钟以上，并规定周锻炼时长不少于145分钟为“优秀健康工作者”，给予奖励.该单位分为 $A ， B$ 两个员工数相等的部门，现从两部门中各随机抽取10名员工，统计得到员工在健身房的周锻炼时长(单位：分钟)，得到如下茎叶图.

(1)、计算这两组数的平均数﹐比较哪个部门的平均健身时间更长？

(2)、用这20名员工的周锻炼时长估计总体，将频率视为概率﹐从该单位员工中随机抽取3人，记其中“优秀健康工作者”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望及方差.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{3}{2} a x^{2} + 2 (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线与 $y = 3$ 平行，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的极大值为6，求实数 $a$ 的值.

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19. 当前，冷冻冷藏类技术发展迅速且应用广泛.某制冷技术重点实验室研究了不同果蔬在不同冻结速率下的冰点温度﹐以及低温环境对果蔬热物性的影响.设冻结速率为 $x$ (单位：分钟)，冰点温度为 $y$ (单位： $^{o} C$ )，下表为某种水果冰点温度随冻结速率变化的统计数据：

x

10

20

30

40

50

y

-5

-4.5

-2

1

2

根据以上数据﹐绘制了散点图：

(1)、由散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数 $r$ 加以说明；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测当冻结速率为 $60$ 分钟时，这种水果的冰点温度.
附：样本 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ 的相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，当 $| r | \in [0.75 ， 1]$ 时﹐两个变量线性相关性很强﹐线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 195$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1000$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} \approx 40$

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20. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x + a ， a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值；

(2)、若 $a = 1 ，$ 求证：当 $x \geq - 1$ 时， $f (x) \geq \frac{1}{2} x^{2} + 2$

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21. 积分商城是激励用户和引导用户的一种渠道﹐是吸引用户再次购买的一种方法﹐是增强消费者与商城粘性的一种有效工具，从而达到提升用户体验感和对品牌依赖性的效果.某电商采用会员积分系统﹐通过线上购买商品可以成为会员，并得到积分(每满100元积1分)，会员可以通过积分购买积分商城上的商品，如果会员对商城内的商品不满意，还可以申请积分转化成现金兑换.现从会员中随机抽取100人，按照当前积分进行分组﹐得到如下频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图估计这100名会员的积分的中位数(精确到1)﹔

(2)、从积分分别在区间[300，400)，[400，500)，[500，600)的会员中采用分层抽样的方式选出8名会员进行有关积分商城､会员权益方面的网络回访，按照积分在区间[300，400)的会员每人赠送10张积分商城优惠券﹐积分在区间[400，500)的会员每人赠送20张积分商城优惠券，积分在区间[500，600)的会员每人赠送30张积分商城优惠券，现从这8名会员中随机选取2人，求这2人共有优惠券张数X的分布列及数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - \ln x + \frac{a - 1}{x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ ，使不等式 $f (x_{0}) < 2 a - 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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$Q$	$30 - 0.5 x$	$25 - 0.5 x$	$20 - 0.5 x$
$P$	0.5	0.4	0.1

x	10	20	30	40	50
y	-5	-4.5	-2	1	2