广东省湛江市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = (x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | x > 1}$

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2. 设z=i(2+i)，则 $\bar{z}$ =（）

A、1+2i B、–1+2i C、1–2i D、–1–2i

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3. 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= $e^{x} - 1$ ，则当x<0时，f(x)=（）

A、 $e^{- x} - 1$ B、 $e^{- x} + 1$ C、 $- e^{- x} - 1$ D、 $- e^{- x} + 1$

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4. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $y = - \frac{1}{8}$ B、 $y = - \frac{1}{4}$ C、 $y = - \frac{1}{2}$ D、 $y = - 1$

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5. 若 $x > 1$ ，则 $4 x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值等于（）

A、6 B、9 C、4 D、1

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6. 若 $f (x) = \cos x - \sin x$ 在 $[0 ， a]$ 是减函数，则a的最大值是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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7. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的 $\frac{1}{2}$ ，男生追星的人数占男生人数的 $\frac{1}{6}$ ，女生追星的人数占女生人数的 $\frac{2}{3}$ ，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（）
参考数据及公式如下： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≥k₀）

0.050

0.010

0.001

k₀

3.841

6.635

10.828

A、12人 B、11人 C、10人 D、18人

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8. 设F为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 交于P，Q两点.若 $| P Q | = | O F |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ B、 $\log_{0.2} 0.3 < \log_{2} 3$ C、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 ${0.3}^{(\sqrt{3} - \sqrt{2})} > {0.3}^{(\sqrt{2} - 1)}$

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10. 直线y＝kx＋3被圆(x－2)²＋(y－3)²＝4截得的弦长为2 $\sqrt{3}$ ，则直线的倾斜角可能为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11. 在正四面体 $A - B C D$ 中， $M$ 为 $A D$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $M N // C D$ B、直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成的角小于 $\frac{π}{3}$ C、 $A C ⊥ B D$ D、正四面体 $A - B C D$ 外接球的球心在 $M N$ 上

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12. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）

A、甲地：中位数为2，极差为5 B、乙地：总体平均数为2，众数为2 C、丙地：总体平均数为1，总体方差大于0 D、丁地：总体平均数为2，总体方差为3

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三、填空题

13. 已知 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α - π) =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， 2)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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15. 某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则不同的熄灭灯的方法有种．

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16. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 3 a_{1} a_{2}$ ， $a_{4} = \frac{256}{3}$ ，用 $〈 x 〉$ 表示实数 $x$ 的小数部分，如： $〈 1.52 〉 = 0.52$ ， $〈 \frac{4}{3} 〉 = \frac{1}{3} = 0. \dot{3}$ ，记 $b_{n} = 〈 a_{n} 〉$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ；数列 ${b_{n}}$ 的前15项之和 $S_{15} =$ ．

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四、解答题

17. $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = \sqrt{5}$ ， $b = 3$ ， $\cos B = - \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、设 $M$ 是边 $A C$ 的中点，求线段 $B M$ 的长．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使 $S_{n} > \frac{50}{101}$ 成立的最小正整数 $n$ 的值．

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、求二面角 $D - A C - M$ 的余弦值；

(2)、在棱 $C C_{1}$ （包含端点）上是否存在点 $E$ ，使 $B E //$ 平面 $A C M$ ，给出你的结论，并证明．

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20. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．已知选手甲每道题自己有把握独立答对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为 $\frac{1}{5}$ ．假设每道题答对与否互不影响．

(1)、若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；

(2)、甲答了4道题，甲答对题目的个数为随机变量 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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21. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， $| A B | = \sqrt{13}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设直线 $l ： y = k x (k < 0)$ 与椭圆交于 $P$ ， $Q$ 两点， $l$ 与直线 $A B$ 交于点M，且点P，M均在第四象限．若 $△ B P M$ 的面积是 $△ B P Q$ 面积的2倍，求 $k$ 的值．

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22. 设函数 $f (x) = [a x^{2} - (3 a + 1) x + 3 a + 2] e^{x}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求 $a$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求 $a$ 的取值范围．

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P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828