广东省云浮市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2 i}{2 - i}$ 在复平面内对应的点的坐标为（）

A、 $(\frac{2}{5} ， \frac{4}{5})$ B、 $(- \frac{2}{5} ， \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{2}{5} ， - \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{2}{5} ， - \frac{4}{5})$

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2. 已知随机变量 $X \sim B (n ， p)$ ，若 $D (X) = 3$ ， $E (X) = 4$ ，则 $n$ ， $p$ 分别为（）

A、 $n = 8$ ， $p = \frac{1}{2}$ B、 $n = 8$ ， $p = \frac{1}{4}$ C、 $n = 16$ ， $p = \frac{3}{4}$ D、 $n = 16$ ， $p = \frac{1}{4}$

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3. 函数 $f (x) = x \ln x$ 的图象在 $x = e$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x - y - e = 0$ B、 $x - 2 y + e = 0$ C、 $2 x + y - 3 e = 0$ D、 $x + 2 y - 3 e = 0$

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4. 若 $X ~ N (5 ， σ^{2})$ ，且 $P (5 < X < 6) = 0.3$ ，则 $P (X \leq 4) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.6

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5. 三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（）

A、729 B、18 C、216 D、81

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6. $(2 + \frac{1}{x}) {(1 - x)}^{10}$ 展开式中的常数项为（）

A、12 B、8 C、-8 D、-12

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7. 一边长为18的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为 $x$ 的小正方形，然后做成一个无盖方盒.当方盒的容积最大时， $x =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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8. 设 $0 < a < 1$ ，则随机变量 $X$ 的分布列是：

$X$

0

$a$

1

$P$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

则当 $a$ 在 $(0 ， 1)$ 内增大时（）

A、 $D (X)$ 增大 B、 $D (X)$ 减小 C、 $D (X)$ 先增大后减小 D、 $D (X)$ 先减小后增大

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二、多选题

9. 下列求导正确的是（）

A、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $f^{'} (x) = \ln x$ B、若 $f (x) = 3 e^{- x}$ ，则 $f^{'} (x) = - 3 e^{- x}$ C、若 $f (x) = x^{2} + \log_{2} x$ ，则 $f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x \ln 2}$ D、若 $f (x) = \sin x + \cos \frac{π}{3}$ ，则 $f^{'} (x) = \cos x - \sin \frac{π}{3}$

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10. 已知 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 展开式中各项的二项式系数和是64，则（）

A、 $n = 6$ B、展开式中所有项的系数和为 $- 1$ C、展开式中常数项为-160 D、展开式中含 $x^{2}$ 项为 $- 60 x^{2}$

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11. 已知双曲线 $W ： \frac{x^{2}}{2 + m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ ，（）

A、 $m \in (- 2 ， - 1)$ B、若W的顶点坐标为 $(0 ， \pm \sqrt{2})$ ，则 $m = - 3$ C、W的焦点坐标为 $(\pm 1 ， 0)$ D、若 $m = 0$ ，则W的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{2} y = 0$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos x}{e^{x} - x}$ ，则（）．

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值为1 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上为减函数 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有且仅有1个零点

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三、填空题

13. 计算 $(4 - 3 i) (- 5 - 4 i) =$ .

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14. 直线 $l ： x - y - 1 = 0$ 被圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 截得的弦 $A B$ 的长为.

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15. 从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8，中任取两个数，一共可组成个没有重复数字的五位数.

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16. 某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，则这个部件能正常工作的概率为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 上的最值．

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18. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点到准线的距离为1.

(1)、求 $p$ 的值及抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的坐标；

(2)、求抛物线 $C$ 在 $x = 1$ 处的切线方程.

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19. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高

x

和体重

y

数据如表所示：

编号	1	2	3	4	5	6	7	8
身高 $/cm$	164	166	160	170	175	164	156	173
体重 $/kg$	49	57	52	53	65	61	44	59

求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 $174cm$ 的女大学生的体重.

（结果精确到0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算）

参考公式：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $\dots$ 、 $(x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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20. 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前“日行万步”正成为健康生活的代名词，某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为[0，2)、[2，4)、[4，6)、[6，8)、[8，10)、[10，12)、[12，14]（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；

(2)、学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在 $[10 ， 12)$ 内的教职工奖励一件 $T$ 恤，价值50元；步数在 $[12 ， 14]$ 内的教职工奖励一件 $T$ 恤和一条运动裤，价值100元；试判断10000元的预算是否足够.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且椭圆 $C$ 过点 $(- 2 ， 0)$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ， $O$ 为坐标原点，过 $F_{2}$ 且不平行于坐标轴的动直线 $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A$ ， $B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、记直线 $O M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值；

(3)、 $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得 $△ A B P$ 为等边三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} (e^{x} - 2 a) + 4 a x + a^{2}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、若到 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq t (x_{1} + x_{2})$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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$X$	0	$a$	1
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$