高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习

试卷更新日期：2021-09-01 类型：同步测试

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一、单选题

1. 空间直角坐标系中，已知 $A (1, - 2, 3)$ ， $B (3, 2, - 5)$ ，则线段 $A B$ 的中点为（）

A、 $(- 1, - 2, 4)$ B、 $(- 2, 0, 1)$ C、 $(2, 0, - 2)$ D、 $(2, 0, - 1)$

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2. 已知 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (0, 1, 1), \vec{c} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{p} = \vec{a} - \vec{b}, \vec{q} = \vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ ，则 $\vec{p} \cdot \vec{q} =$ （）

A、-1 B、1 C、0 D、-2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3, 5, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 2, 3)$ ， $\vec{c} = (1, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a} - \vec{b} + 4 \vec{c}$ 的坐标为（）.

A、 $(5, - 1, 4)$ B、 $(5, 1, - 4)$ C、 $(- 5, 1, 4)$ D、 $(- 5, - 1, 4)$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，1，0），则与 $\vec{a}$ 共线的单位向量 $\vec{e}$ =（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ B、 $(0,$ 1， $0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ D、 $(1,$ 1， $1)$

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5. 在空间直角坐标系中，向量 $\vec{a} = (2, - 3, 5)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, 5)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(0, 1, 10)$ B、 $(- 4, 7, 0)$ C、 $(4, - 7, 0)$ D、 $(- 4, - 12, 25)$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 0)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $\sqrt{35}$ D、 $9$

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7. 已如向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 互相垂直，则 $k =$ （）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 已知空间向量 $\vec{m} = (3, 1, 3)$ ， $\vec{n} = (- 1, λ, - 1)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、6

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二、多选题

9. 以下命题正确的是（）

A、若 $\vec{p}$ 是平面 $α$ 的一个法向量，直线 $b$ 上有不同的两点 $A$ ， $B$ ，则 $b // α$ 的充要条件是 $\vec{p} \cdot \vec{A B} = 0$ B、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点不共线，对于空间任意一点 $O$ ，若 $\vec{O P} = \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + \frac{2}{5} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 C、已知 $\vec{a} = (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 2 ， 3)$ ，若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则 $k = - \frac{3}{4}$ D、已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $B (4 ， 1 ， 4)$ ， $C (3 ， - 2 ， 2)$ ，则 $A C$ 边上的高 $B D$ 的长为 $\sqrt{13}$

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10. 下列四个结论正确的是（）

A、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ 或 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = \frac{π}{2}$ B、若空间中点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $\vec{O C} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、空间中任意向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 都满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 2, x, 4)$ ，若 $x < \frac{2}{5}$ ，则 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 为钝角

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11. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ， $A A_{1} = 3$ ，以直线 $D A$ ， $D C$ ， $D D_{1}$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系，则（）

A、点 $B_{1}$ 的坐标为 $(5 ， 4 ， 3)$ B、点 $C_{1}$ 关于点 $B$ 对称的点为 $(8 ， 5 ， - 3)$ C、点 $A$ 关于直线 $B D_{1}$ 对称的点为 $(0 ， 5 ， 3)$ D、点 $C$ 关于平面 $A B B_{1} A_{1}$ 对称的点为 $(8 ， - 5 ， 0)$

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12. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ，则与 $\vec{a}$ 共线的单位向量 $\vec{e} =$ （）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ B、 $(0, 1, 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ D、 $(- 1, - 1, 0)$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (x, x^{2} + y - 2, y)$ ，并且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 同向，则 $x$ ， $y$ 的值分别为．

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14. 若向量 $\vec{a} =$ （1，λ，2）， $\vec{b} =$ （﹣2，1，1）， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{6}$ ，则λ=.

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15. 已知 $\vec{a} = (3 ， 2 λ - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (μ + 1 ， 0 ， 2 μ)$ ．若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则μ＝；若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则λ+μ＝．

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16. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (0, - 1, 1), \overset{⇀}{b} = (4, 1, 0), | λ \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{29}$ ，且 $λ > 0$ ，则 $λ =$ ．

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四、解答题

17. 如图，建立空间直角坐标系 $O x y z$ .单位正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 顶点A位于坐标原点，其中点 $B (1 ， 0 ， 0)$ ，点 $D (0 ， 1 ， 0)$ ，点 $A^{'} (0 ， 0 ， 1)$ .

(1)、若点E是棱 $B^{'} C^{'}$ 的中点，点F是棱 $B^{'} B$ 的中点，点G是侧面 $C D D^{'} C^{'}$ 的中心，则分别求出向量 $\overset{⇀}{O E} ， \overset{⇀}{O G} ， \overset{⇀}{F G}$ 的坐标；

(2)、在（1）的条件下，分别求出 $(\vec{O E} + \vec{O G}) \cdot \vec{F G}$ ， $| \vec{E G} |$ 的值.

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18. 已知点 $A (0, 1, 2)$ ， $B (1, - 1, 3)$ ， $C (1, 5, - 1)$ ．

(1)、若D为线段 $B C$ 的中点，求线段 $A D$ 的长；

(2)、若 $\overset{⇀}{A D} = (2, a, 1)$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 1$ ，求a的值，并求此时向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A D}$ 夹角的余弦值．

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19. 已知点 $A (0, 1, - 1)$ , $B (2, 2, 1)$ ，向量 $\vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}$ ,计算：

(1)、求向量 $\vec{b}$ 的单位向量 $\vec{b_{0}}$ ；

(2)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ， $| - 3 \vec{a} |$ ；

(3)、 $\cos < \vec{a}, \vec{b} >$ ；

(4)、求点 $B$ 到直线 $O A$ 的距离.

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20. 已知正方形ABCD的边长为2， $P A ⊥$ 平面 ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $A - x y z$ ．

（Ⅰ）求点 $A ， B ， C ， D ， P ， E$ 的坐标；

（Ⅱ）求 $| \vec{C E} |$ ．

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