高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量基本定理同步练习

试卷更新日期：2021-09-01 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在以下三个命题中，真命题的个数是（）.
①若三个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不能构成空间的一个基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面；②若两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线；③若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，而 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ （ $λ ， μ \in R$ 且 $λ μ \neq 0$ ），则 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底.

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 若向量 $\overset{⇀}{M A}$ 、 $\overset{⇀}{M B}$ 、 $\overset{⇀}{M C}$ 的起点与终点 $M$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ $O$ 是空间任一点），则能使向量 $\overset{⇀}{M A}$ 、 $\overset{⇀}{M B}$ 、 $\overset{⇀}{M C}$ 成为空间一组基底的关系是（）

A、 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$ B、 $\overset{⇀}{M A} \neq \overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{M C}$ C、 $\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C}$ D、 $\overset{⇀}{M A} = 2 \overset{⇀}{M B} - \overset{⇀}{M C}$

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3. 设 $\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} ， \vec{y} = \vec{b} + \vec{c} ， \vec{z} = \vec{c} + \vec{a}$ ，且 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{x}}$ ；② ${\vec{x} ， \vec{y} ， \vec{z}}$ ；③ ${\vec{b} ， \vec{c} ， \vec{z}}$ ；④ ${\vec{x} ， \vec{y} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}$ ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，已知 $| \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{O B} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{O C} | = \sqrt{2}$ ， $tan ∠ A O B = - \frac{4}{3}$ ， $∠ B O C = 45 °$ ， $\overset{⇀}{O C} = m \overset{⇀}{O A} + n \overset{⇀}{O B}$ ，则 $\frac{m}{n}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{7}{3}$

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5. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别在棱 $B B_{1} ， B C ， B A$ 上，且满足 $\overset{⇀}{B E} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{B B_{1}}$ ， $\overset{⇀}{B F} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{B C}$ ， $\overset{⇀}{B G} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{B A}$ ， $O$ 是平面 $B_{1} G F$ ，平面 $A C E$ 与平面 $B_{1} B D D_{1}$ 的一个公共点，设 $\overset{⇀}{B O} = x \overset{⇀}{B G} + y \overset{⇀}{B F} + z \overset{⇀}{B E}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 C、 D、

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6. 在三棱锥 $O - A B C$ 中，若 $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} - \vec{O B}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C} - \vec{O A}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C} + \vec{O A}$

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7. 如图：在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1} ， B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{A A_{1}} = \overset{⇀}{c}$ ，则向量 $\overset{⇀}{B M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$

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8. 若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有 $\vec{O P} = \frac{3}{4} \vec{O A} + \frac{1}{8} \vec{O B} + \frac{1}{8} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点（）

A、不共面 B、共面 C、共线 D、不共线

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二、多选题

9. 给出下列命题，其中错误的有（）

A、若空间向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 、 $\vec{p}$ ，满足 $\vec{m} // \vec{n}$ ， $\vec{n} // \vec{p}$ ，则 $\vec{m} // \vec{n}$ B、若空间向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 、 $\vec{p}$ ，满足 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$ C、在空间中，一个基底就是一个基向量 D、任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底

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三、填空题

10. 已知 $O$ 是空间任一点， $A ， B ， C ， D$ 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 $\overset{⇀}{O A} = 2 x \cdot \overset{⇀}{B O} + 3 y \cdot \overset{⇀}{C O} + 4 z \cdot \overset{⇀}{D O}$ ，则 $2 x + 3 y + 4 z =$ .

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，用 $\vec{A C}$ ， $\vec{A B_{1}}$ ， $\vec{A D_{1}}$ 作为基向量，则 $\vec{A C_{1}}$ =.

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12. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，B₁C和BC₁相交于点O，若 $\vec{D O} = x \vec{D A} + y \vec{D C} + z \vec{D D_{1}}$ ，则 $\frac{x}{y}$ =

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13. 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量 $\vec{O P}$ = $\frac{1}{4}$ $\vec{O A}$ + $\frac{2}{3}$ $\vec{O B}$ + $λ$ $\vec{O C}$ 确定的点P与A，B，C共面，那么λ=

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14. 已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面，对平面ABC外一点O，给出下列表达式： $\vec{O M}$ =x $\vec{O A}$ +y $\vec{O B}$ + $\frac{1}{3}$ $\vec{O C}$ ，其中x，y是实数，则x+y=　

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四、解答题

15. 已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′．求证： $\vec{A C}$ + $\vec{A B}$ + $\vec{A D}$ =2 $\vec{A C}$ ．

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16. 如图，已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，化简 $\vec{A C'}$ + $\vec{D' B}$ ﹣ $\vec{D C}$ ．

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17. 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=3，AA₁=4，∠DAB=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，E是CC₁的中点，设 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}}$ = $\vec{c}$ ．
（1）用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{A E}$ ；
（2）求AE的长？

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18. 如图，设O是▱ABCD所在平面外的任一点，已知 $\vec{O A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{O B}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{O C}$ = $\vec{c}$ 你能用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{O D}$ 吗？若能，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示出 $\vec{O D}$ ；若不能，请说明理由．

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19. 如图，在空间平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若以 $\vec{A C}$ ， $\vec{A B_{1}}$ ， $\vec{A D_{1}}$ 为空间的一个基底，用这个基底表示 $\vec{A C_{1}}$ ．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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