高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量及其运算

试卷更新日期：2021-09-01 类型：同步测试

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一、单选题

1. 给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；③若空间向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ 满足 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$ ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.

其中假命题的个数是（）.

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，向量 $\overset{⇀}{D_{1} A}$ ， $\overset{⇀}{D_{1} C}$ ， $\overset{⇀}{A_{1} C_{1}}$ 是（）

A、有相同起点的向量 B、等长向量 C、共面向量 D、不共面向量

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3. 已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 $\vec{CP}$ =2 $\vec{CA} + \vec{CB}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{OP} = \vec{OA}$ +2 $\vec{OB}$ -2 $\vec{OC}$ B、 $\vec{OP}$ =-2 $\vec{OA} - \vec{OB}$ +3 $\vec{OC}$ C、 $\vec{OP}$ =2 $\vec{OA} + \vec{OB}$ -3 $\vec{OC}$ D、 $\vec{OP}$ =2 $\vec{OA} + \vec{OB}$ -2 $\vec{OC}$

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4. 已知在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $A A^{'} = 5$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $∠ B A A^{'} = 60^{°}$ ， $∠ D A A^{'} = 90^{°}$ ，则 $A C^{'}$ 的长为（）．

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{58}$ D、 $\sqrt{53}$

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5. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为M．设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a} ， \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b} ， \vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $2 \vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$

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6. 空间四边形 $A B C D$ 的各边和对角线均相等， $E$ 是 $B C$ 的中点，那么（）.

A、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} < \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ B、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} = \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ C、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} > \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ D、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C}$ 与 $\vec{A E} \cdot \vec{C D}$ 的大小不能比较

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7. 已知空间向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{c} | = 4$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知向量 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ ，且 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ ， $\vec{B C}$ =-5 $\vec{a}$ +6 $\vec{b}$ ， $\vec{C D}$ =7 $\vec{a}$ -2 $\vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、A､B､D B、A､B､C C、B､C､D D、A､C､D

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9. 下列命题是真命题的是（）

A、若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B、 $\vec{A B} = \vec{C D}$ 的充要条件是A与C重合，B与D重合 C、若向量 $\vec{A B} ， \vec{C D}$ 满足 $| \vec{A B} | > | \vec{C D} |$ ，且 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 同向，则 $\vec{A B} > \vec{C D}$ D、若两个非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 满足 $\vec{A B} + \vec{C D} = 0$ ，则 $\vec{A B} / / \vec{C D}$

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二、多选题

10. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）．

A、 ${\vec{a}}^{2} = | \vec{a} |^{2}$ B、 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{\vec{a}}^{2}} = \frac{\vec{b}}{\vec{a}}$ C、 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ D、 ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

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11. 设动点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上，记 $\vec{D_{1} P} = λ \vec{D_{1} B}$ 当 $∠ A P C$ 为钝角时，则实数可能的取值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} D ⊥ B C_{1}$ B、 $A_{1} D / /$ 平面 $A B_{1} C$ C、直线 $A_{1} E$ 与 $B_{1} F$ 相交 D、 $C$ ， $D_{1}$ ， $E$ ， $F$ 四点在同一平面内

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13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 1, 0)$ ，则与 $\overset{⇀}{a}$ 共线的单位向量 $\overset{⇀}{e} =$ （）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ B、 $(0, 1, 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ D、 $(1, 1, 1)$

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三、填空题

14. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{D_{1} M}$ ，则 $\vec{D_{1} M} =$ .

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15. 已知 $| \vec{O A} | = 5$ ， $| \vec{O B} | = 2$ ， $〈 \vec{O A}, \vec{O B} 〉 = 60^{°}$ ， $\vec{O C} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}$ ， $\vec{O D} = \vec{O A} - 2 \vec{O B}$ ，则以 $O C$ ， $O D$ 为邻边的平行四边形 $O C E D$ 的对角线 $O E$ 的长为．

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16. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot c + c \cdot \vec{a}$ 的值为．

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17. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为空间中任意四点，化简 $(\vec{A B} - \vec{C D}) - (\vec{A C} - \vec{B D}) =$ .

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四、解答题

18. 如图所示， $M$ 、 $N$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $C D$ 的中点.试判断向量 $\vec{M N}$ 与向量 $\vec{A D}$ 、 $\vec{B C}$ 是否共面.

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19. 如图，点M，N分别在对角线 $B D ， A E$ 上，且 $B M = \frac{1}{3} B D ， A N = \frac{1}{3} A E$ ．求证：向量 $\vec{M N} ， \vec{C D} ， \vec{D E}$ 共面．

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20. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，G是 $△ A B C$ 的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.

(1)、用向量 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，并证明你的结论；

(2)、设 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} ， x ， y ， z \in R$ ，请写出点P在 $△ A B C$ 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.

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