广东省阳江市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x < 0$ ， $2^{x} > 1$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \geq 0$ ， $2^{x} > 1$ B、 $\forall x < 0$ ， $2^{x} \leq 1$ C、 $\exists x \geq 0$ ， $2^{x} \leq 1$ D、 $\exists x < 0$ ， $2^{x} \leq 1$

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2. 设 $z (5 - 12 i) = 13 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{12}{13} + \frac{5}{13} i$ B、 $\frac{12}{13} - \frac{5}{13} i$ C、 $- \frac{12}{13} + \frac{5}{13} i$ D、 $- \frac{12}{13} - \frac{5}{13} i$

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3. 下列函数的求导正确的是（）

A、 ${(x^{- 2})}^{'} = - 2 x$ B、 ${(x \cos x)}^{'} = \cos x - x \sin x$ C、 ${(\ln 10)}^{'} = \frac{1}{10}$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = 2 e^{x}$

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4. “ $m > 4$ ”是“函数 $f (x) = x + \frac{m}{x} (x > 0)$ 的最小值大于4”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. ${(x^{n} - \frac{1}{x^{3}})}^{10}$ 展开式中的第5项为常数项，则正整数n的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知 $A (1 ， y_{0})$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点， $O$ 是坐标原点，点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为2，则 $| O A | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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7. 用1，2，3，4，5这5个数组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中，比35241大的数有（）

A、8个 B、48个 C、50个 D、56个

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8. 若关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 m \ln x - \frac{1}{2} \geq 0$ 在 $[2 ， 4]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{15}{4 \ln 2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{15}{8 \ln 2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{15}{4 \ln 2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{15}{8 \ln 2}]$

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二、多选题

9. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比为 $q$ ，已知 $S_{3} = 21$ ， $S_{6} = 189$ ，则（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{1} = 3$ C、 $q = 2$ D、 $q = 3$

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10. 关于 $x$ ， $y$ 的方程 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 2} + \frac{y^{2}}{4 - m^{2}} = 1$ (其中 $m^{2} \neq 4$ )表示的曲线可能是（）

A、焦点在 $y$ 轴上的双曲线 B、圆心为坐标原点的圆 C、焦点在 $x$ 轴上的双曲线 D、长轴长为 $2 \sqrt{6}$ 的椭圆

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11. 设某车间的A类零件的质量m(单位：kg)服从正态分布 $N (10 ， σ^{2})$ ，且 $P (m > 10.1) = 0.2$ .（）

A、若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10kg的概率为0.25 B、若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg的概率为0.4 C、若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg∼10.1kg的个数的期望为60 D、若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg∼10.1kg的个数的方差为24

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12. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 3 b = 1$ ，则（）

A、 $2^{a - 3 b} > \frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{3 b} ⩽ \sqrt{2}$ C、 $\log_{9} a + \log_{9} b ⩾ - \frac{1}{2}$ D、 $a^{2} + 9 b^{2} ⩾ \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $X \sim B (n ， 0.8)$ ，且 $Y = \frac{X}{2} + 3$ ，若 $E (Y) = 7$ ，则 $D (X) =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， ${(\sin B + \sin C)}^{2} = \sin^{2} A + \frac{3}{2} \sin B \sin C$ ， $b = c = 2$ 则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 某公司为了解某产品的研发费 $x$ (单位：万元)对销售量 $v$ (单位：百件)的影响，收集了该公司以往的5组数据，发现用函数模型 $y = a e^{k x}$ ( $e$ 为自然对数的底数)拟合比较合适.令 $z = \ln y$ 得到 $\bar{z} = \bar{b} x + 4.06$ 经计算， $x$ ， $z$ 对应的数据如表所示：

研发费 $x$

5

8

12

15

20

$z = \ln y$

4.5

5.2

5.5

5.8

6.5

则 $a e^{k} =$ .

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16. 若 $\frac{a^{2} - \ln a}{b} = \frac{c - 2}{d} = 1$ ，则 ${(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2}$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：

跑步公里数

性别

[5，10)

[10，15)

[15，20)

[20，25)

[25，30)

[30，35]

男

女

(1)、分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5，15)，[15，25)，[25，35]的概率；

(2)、已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的2\times 2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关．

	初级	高级	总计
男
女
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ ．

P（k²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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18. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、请从① $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + n$ ，② $b_{n} = (2 n - 1) a_{n}$ ，③ $b_{n} = \frac{2}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1}}$ 这三个条件选择一个，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x \ln x - a x^{2} - x$ ， $g (x) = e^{x - 1} - 2 a x$ .

(1)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $F (x) = f^{'} (x) - g (x)$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，求 $F (x)$ 的最值.

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20. 在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品.已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分.

(1)、求甲获得游戏奖品的概率；

(2)、设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望.

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A // D E$ ， $P$ 与 $E$ 在平面 $A B C D$ 的同侧且 $P A = 2 A D = 2 D E$ .

(1)、证明： $B D //$ 平面 $P C E$ ；

(2)、若 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为2，求二面角 $D - C E - P$ 的正弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = (2 - a) (x - 1) - 2 \ln x$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程.

(2)、函数 $f (x)$ 的图象上是否存在两点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ ，使得 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = f^{'} (x_{0}) (x_{1} - x_{2})$ (其中 $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ )能成立？请说明理由.

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研发费 $x$	5	8	12	15	20
$z = \ln y$	4.5	5.2	5.5	5.8	6.5