广东省普宁市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 4}$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${2}$ C、 ${0 ， 2 ， 4}$ D、 ${0 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 设l是直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $l / / α ， l / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $α ⊥ β ， l / / α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α ， l ⊥ β$ ，则 $α / / β$ D、若 $α ⊥ β ， l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ β$

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3. 复数 $z = \frac{i}{2 - i}$ （i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）

A、 $(\frac{1}{5} ， - \frac{2}{5})$ B、 $(- \frac{1}{5} ， - \frac{2}{5})$ C、 $(\frac{1}{5} ， \frac{2}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5} ， \frac{2}{5})$

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4. 2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍.某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重（单位：kg）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A、这2000头生猪体重的众数为160kg B、这2000头生猪体重的中位数落在区间[160，180）内 C、这2000头生猪中体重不低于200kg的有40头 D、这2000头生猪体重的平均数为152.8kg

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5. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $k_{1} \cdot k_{2} = - 4$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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6. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y ⩾ 0 \\ x + y ⩾ 0 \\ 2 x + y ⩽ 1 \end{matrix}$ ，则 $\frac{2^{x}}{4^{y}}$ 的最大值是（）

A、3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、1 D、8

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7. 已知函数 $y = a^{x - 2} + 1$ （a＞0，且a≠1）过定点P，若点P在直线2mx＋ny－6＝0（mn＞0）上，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{8}{3}$ C、8 D、 $\frac{5}{3}$

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8. 已知 $y = f (x)$ 为奇函数， $y = f (x + 1)$ 为偶函数，若当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = {log}_{2} (x + a)$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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二、多选题

9. 已知函数 $g (x) = \cos (x - \frac{π}{3}) + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、g（x）的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 B、g（x）的图象关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称 C、g（x）在区间 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 D、g（x）在区间 $(0 ， \frac{7 π}{6})$ 上有两个零点

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10. 已知 ${(x - 1)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{8} = 1$ C、 $a_{3} = - 56$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{8}}{2^{8}} = \frac{255}{256}$

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11. 下列命题中，真命题的是（）

A、 $\exists x_{0} \in R ， \sin x_{0} + \cos x_{0} = \sqrt{2}$ B、已知 $α ， β \in R$ ，则“ $α + β < 0$ ”是“ $α + β < \sin α + \sin β$ ”的充要条件 C、命题P：“ $\exists x_{0} \in R ， e^{x_{0}} ⩾ x_{0} + 1$ ”的否命题为 $¬ p$ ：“ $\forall x \in R ， e^{x} < x + 1$ ” D、已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \ln x ， (x > 0) \\ e^{x} ， (x ⩽ 0) \end{matrix}$ ，且关于x的方程f（x）＝－x＋a恰有两个互异的实数解的充要条件是a＜1

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12. 如图点M是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、若点M为线段 $A D_{1}$ 的中点，则CM⊥ $A D_{1}$ B、不存在点M到直线AD和直线 $C_{1} D_{1}$ 的距离相等 C、若正方体的棱长为1，则三棱锥 $M - B C C_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、在线段 $A D_{1}$ 上不存在点M，使异面直线 $B_{1} M$ 与CD所成的角是30°

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 都为单位向量， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为.

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14. 明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”，下图是来氏太极图，其大圆半径为5，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为.

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15. 已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ，给出三个条件：① $f (a_{n}) = 2^{n}$ ；② $f (a_{n}) = n$ ；③ $f (a_{n}) = \frac{1}{n}$ .从中选出一个能使数列 ${a_{n}}$ 成等比数列的条件，在这个条件下，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ＝.

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16. 已知点P是地物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上的一个动点，则点P到直线 $l_{1} ： 4 x - 3 y - 12 = 0$ 和 $l_{2} ： y + 1 = 0$ 的距离之和的最小值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ .

(1)、将f(x)的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式和最小正周期；

(2)、在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，a= $\sqrt{7}$ ，b=2，求△ABC的面积.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 各项都是正数，且 $a_{1} = 1 ， a_{2} + a_{3} = 12$ ；数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = n^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝ $\frac{1}{2}$ DC，F为PC的中点.

(1)、求证：BF∥平面PAD；

(2)、求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.

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20. 为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
编号x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
销售额y	0.9	8.7	22.4	41	65	94	132.5	172.5	218	268

根据以上数据绘制散点图，如图所示：

(1)、根据散点图判断，

\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x

与

\hat{y} = \hat{c} x^{2} + \hat{d}

哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2021年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）

(3)、把销售额不超过150（十亿元）的年份叫“平销年"，把销售额低于30（十亿元）的年份叫“试销年”，从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个，

ξ

表示取到“试销年”的个数，求

ξ

的分布列和数学期望.

参考数据： $t_{i} = x_{i}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 1020$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 8088$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} = 385$
$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2} \approx 25380$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i} \approx 67770$	${(\bar{t})}^{2} \approx 1483$

参考公式：

对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \dots ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左、右焦点分別为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l_{1}$ 交椭圆E于A，B两点， $△ A B F_{2}$ 的周长为8.

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ ：y=kx+m(km<0)与圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且与椭圆E交于M，N两点， $| M F_{2} | + | N F_{2} |$ 是否存在最小值？若存在，求出 $| M F_{2} | + | N F_{2} |$ 的最小值和此时直线 $l_{2}$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x + 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为10，求此切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明： $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 1$ .

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