广东省梅州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. sin600°=（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 已知复数z满足 $\bar{z} - z = 2 i$ ，则z的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、i

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3. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

A、36种 B、42种 C、48种 D、54种

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4. 已知 $α$ ， $β$ 表示不同平面，则 $α / / β$ 的充分条件是（）

A、存在直线 $a$ ， $b$ ，且 $a, b \subset α$ ， $a / / β$ ， $b / / β$ B、存在直线 $a$ ， $b$ ，且 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a / / β$ ， $b / / α$ C、存在平面 $γ$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ D、存在直线 $a, a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$

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5. 2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号（Chang'e5）探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转 $\frac{π}{2}$ 弧度，飞过的长度约为 $(π \approx 3.14)$ （）

A、1069千米 B、6713.32千米 C、628千米 D、3356.66千米

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6. 若将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位，所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小正值是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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7. 在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．现有四名学生分别统计全部选手的总得分为55分，56分，57分，58分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）

A、6位 B、7位 C、8位 D、9位

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8. 在楼长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{D_{1} O} = \frac{1}{6} \vec{D_{1} B_{1}}$ ，若 $P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D D_{1}$ ， $A B$ ， $B C$ 的中点，则四面体 $O P M N$ 的体积为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{11}{18}$ C、 $\frac{11 \sqrt{2}}{18}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的是（）

A、设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 2) = \frac{5}{16}$ B、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ 且 $P (X < 4) = 0.9$ ，则 $P (0 < X < 2) = 0.4$ C、小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 $A =$ “4个人去的景点互不相同”，事件 $B =$ “小赵独自去一个景点”，则 $P (A | B) = \frac{2}{9}$ D、 $E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3$ ， $D (2 X + 3) = 2 D (X) + 3$

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10. 欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ （其中 $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A、复数 $e^{i}$ 对应的点位于第一象限 B、 $e^{π i}$ 为纯虚数 C、复数 $\frac{e^{x i}}{\sqrt{3} + i}$ 的模长等于 $\frac{1}{2}$ D、 $e^{\frac{π}{6} i}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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11. 设 ${(1 - 2 x)}^{29} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{29} x^{29}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{15} + a_{16} > 0$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{29} = - 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{29} = - \frac{1 + 3^{29}}{2}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 29 a_{29} = - 58$

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12. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P在线段BC₁上运动时，下列命题正确的是（）

A、三棱锥A﹣D₁PC的体积不变 B、直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变 C、直线AP与直线A₁D所成角的大小不变 D、二面角P﹣AD₁﹣C的大小不变

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三、填空题

13. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\cos (\frac{π}{2} + α) \cos (π - α) + 1}{\sin^{2} (\frac{3 π}{2} - α)} =$ ．

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14. 设复数z满足z²=3+4i（i是虚数单位），则z的模为 .

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15. $(x - 2 y) {(x - y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{3} y^{6}$ 的系数为．（用数字填写答案）

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16. 底面边长为2，高为4的正四棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \cos ω x (\sqrt{3} \cos ω x + \sin ω x) - \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间．

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18. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前3项的二项式系数的和为22．

(1)、求 $n$ 的值及展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中的有理项．

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19. 在① $\frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B = a - b \cos C$ ，② $b \sin C = c \cos (B - \frac{π}{6})$ ，这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的橫线上并作答．
问题： $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知______，

(1)、求 $B$ ：

(2)、若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20. 某电器企业统计了近 $10$ 年的年利润额 $y$ （千万元）与投入的年广告费用 $x$ （十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令 $u_{i} = \ln x_{i}$ ， $v_{i} = \ln y_{i}$ ，得到相关数据如表所示：

$\sum_{i = 1}^{10} u_{i} v_{i}$

$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}$

$\sum_{i = 1}^{10} v_{i}$

$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}^{2}$

$30.5$

$15$

$15$

$46.5$

(1)、从① $y = b x + a$ ；② $y = m \cdot x^{k} (m > 0 ， k > 0)$ ；③ $y = c x^{2} + d x + e$ 三个函数中选择一个作为年广告费用 $x$ 和年利润额 $y$ 的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；

(2)、根据（1）中选择的回归类型，求出 $y$ 与 $x$ 的回归方程；

(3)、预计要使年利润额突破 $1$ 亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）
参考数据： $\frac{10}{e} \approx 3.6788$ ， ${3.6788}^{3} \approx 49.787$ .

参考公式：回归方程 $y = \hat{a} + \hat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ .

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21. 如图，在四棱锥P－ABCD中，CD//AB， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $B D ⊥$ $P A$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ．

(1)、证明：BD $⊥$ 平面PAD；

(2)、设平面PAD $\cap$ 平面PBC $=$ l， $l \cap$ 平面ABCD $=$ G， $P A = P D = 2$ ．在线段 $P G$ 上是否存在点M，使得二面角 $P - D C - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{P M}{P G}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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22. 5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80) 、[80，90) 、[90，100]，统计结果如图所示：

(1)、由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ$ 近似为样本的标准差s，并已求得s=14.31.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间(56.19，99.12]的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；

(2)、该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为 $\frac{1}{2}$ .每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.
（ⅰ）求小王获得900元话费的概率；

（ⅱ）求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）.

参考数据：若随机变量z服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，即 $z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < z \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < z \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ .

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$\sum_{i = 1}^{10} u_{i} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}^{2}$
$30.5$	$15$	$15$	$46.5$