广东省揭阳市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-31 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合P={x|1＜2^x＜2}，Q= ${x | \log_{0.5} x > 1}$ ，则P ∩Q=（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ D、(0，1)

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2. 设复数 $\frac{i- 2}{1 + i}$ =a+bi(a，b∈R)，则a+b=(　　)

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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3. 设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、10

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4. 设 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a c > b c$ B、 $a - c < b - c$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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5. 在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a²=b²+c²﹣bc，则角A=（）

A、60° B、120° C、30° D、150°

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6. 若函数 $f (x) = 2^{x} + a^{2} x - 2 a$ 的零点在区间 $(0 ， 1)$ 上，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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7. 函数 $y = \cos 2 x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位后，与函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像重合，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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8. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的左焦点 $F (- c ， 0) (c > 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为 $E$ ，延长 $F E$ 交双曲线右支于点P，若 $\overset{⇀}{O E} = \frac{1}{2} (\overset{⇀}{O F} + \overset{⇀}{O P})$ （ $O$ 是坐标原点），则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x$ ，则下列满足函数的是（）

A、周期是π B、区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、 $x = \frac{π}{6}$ 为对称轴 D、过点 $(\frac{π}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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10. 设F是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，过F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与抛物线的一个交点为A，半径为 $| F A |$ 的圆F交抛物线的准线于B，C两点，且B在C的上方，B关于点F的对称点为D，以下结论正确的是（）

A、线段CD的长为8 B、A，C，F三点共线 C、 $△ C D F$ 为等边三角形 D、四边形ABCD为矩形

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11. 下列命题为真命题的是（）．

A、若 $a > b$ ，则 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{\lg a}{\lg b} > 1$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\sqrt{a b} \geq \frac{2 a b}{a + b}$ D、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 2 a x + b | ， (x \in R)$ ，给出下列命题正确是有（）

A、 $\exists a \in R$ ，使 $f (x)$ 为偶函数； B、若 $f (0) = f (2)$ ，则 $f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称； C、若 $a^{2} - b \leq 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[a ， + \infty)$ 上是增函数； D、若 $a^{2} - b - 2 > 0$ ，则函数 $h (x) = f (x) - 2$ 有2个零点.

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三、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2 y \leq 2 \end{matrix}$ ，若目标函数 $z = x - y$ 的最大值为 $a$ ，最小值为 $b$ ，则 $a + b =$ ．

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14. 三张卡片上分别写有数字1、2、3，将它们排成一行，恰好排成顺序为“321”的概率为．

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15. ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为.

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16. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上，若 $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = A A_{1} = 1$ ，则该球的表面积等于．

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四、解答题

17. 从2018年1月1日起，广东、等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：

上一年的

出险次数

5次以上（含5次）

下一年

保费倍率

85%

100%

125%

150%

175%

200%

连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折

有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查，得到一年中出险次数的频数分布如下(并用相应频率估计车辆每年出险次数的概率)：

一年中出险次数	0	1	2	3	4	5次以上（含5次）
频数	500	380	100	15	4	1

(1)、求某车在两年中出险次数不超过2次的概率；

(2)、经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，估计其回归直线方程为：

\hat{y} = 120 x + 1600

.（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）.李先生2016 年1月购买一辆价值20万元的新车.根据以上信息，试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费，并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = 2$ ．

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (θ) + f (- θ) = \frac{8}{5} ， θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $f (2 θ - \frac{π}{6})$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2^{n} (n$ ≥ $2 ， n \in N^{*})$

(1)、求证数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{(2 n + 1) a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $B_{n}$ .

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20. 如图所示，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°， $A D = D C = \sqrt{2}$ ，SA＝SC＝SD＝2．

(1)、求证：AC⊥SD；

(2)、求三棱锥B﹣SAD的体积．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点到两个焦点的距离之和为 $\frac{2}{3}$ ，短轴长为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 与椭圆C交于M、N两点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{1}{25}$ 相切，证明： $∠ M O N$ 为定值

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (x - 1)}{x} (a \in R)$ ．
（I）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（II）求证： $\forall x \in (1 ， 2)$ ，不等式 $\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} < \frac{1}{2}$ 恒成立．

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