广东省广州市天河区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-31 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{2 + i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 3$ 在 $[0 ， 3]$ 上的最小值为（）

A、 $- \frac{7}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、0 D、3

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3. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{3} ， \frac{1}{2} a_{5} ， a_{4}$ 成等差数列，则 $S_{7} - S_{6} =$ （）

A、128 B、64 C、32 D、1

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4. 若 $\cos 2 θ = - \frac{1}{3}$ ， $θ \in [\frac{π}{2} ， π]$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，它的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上为减函数 B、函数 $f (x)$ 在 $(3 ， 5)$ 上为增函数 C、函数 $f (x)$ 在 $(1 ， 3)$ 上有极大值 D、 $x = 3$ 是函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 5]$ 上的极小值点

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6. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (x > - 2) + P (x \geq 6) = 1$ ，则 $μ =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $2$

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7. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美有；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）

A、120 种 B、192 种 C、240 种 D、408 种

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8. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，则称数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列．如果函数 $f (x) = x^{2} - x - 2$ ，数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列，设 $a_{n} = \ln \frac{x_{n} - 2}{x_{n} + 1}$ 且 $a_{1} = 1$ ， $x_{n} > 2$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2021} =$ （）．

A、 $2^{2021} - 1$ B、 $2^{2021} - 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{2021} - \frac{1}{2}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{2021} - 2$

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二、多选题

9. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从 $2012$ 年到 $2020$ 年共 $9$ 年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额 $y$ 看成以年份序号 $x$ （ $2012$ 年作为第 $1$ 年）的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是（）

A、销售额 $y$ 与年份序号 $x$ 呈正相关关系 B、三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和 C、三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D、根据三次函数回归曲线可以预测 $2021$ 年“年货节”期间的销售额约为 $1698.719$ 亿元

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10. 已知 $i$ 为虚数单位，则下列命题正确的是（）

A、若复数 $z$ 的共轭复数为 $\overline{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ B、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} z_{2} \geq 0$ C、若复数 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ D、复数 $z$ 满足 $| z - 2 i | = 1$ ， $z$ 在复平面内对应的点为 $(x ， y)$ ，则 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

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11. 已知 ${(x - 2)}^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{4} = - 210$ C、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} \dots \dots + \frac{a_{10}}{2^{10}} = 1 - \frac{1}{2^{10}}$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} = 512$

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12. 已知函数 $f (x) = A \cos (x + φ) + 1 (A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ ，若函数 $y = | f (x) |$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5}{6} π$ ， $0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}$ ， $0]$ 上的值域为 $[2$ ， $3]$ D、将函数 $y = 2 \sin x + 1$ 的图象向右平移 $\frac{5}{6} π$ 个单位长度可得到函数 $y = f (x)$ 的图象

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三、填空题

13. 对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ 有一组观测数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 8)$ ，其线性回归方程是 $\hat{y} = \frac{1}{6} x + \hat{a}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{8} = 2 (y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{8}) = 6$ ，则 $\hat{a} =$ ．

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14. 二项式 ${(x - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为-20，则含 $x^{2}$ 项的系数为．

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15. 已知函数 $f (x) = 2 a x - \frac{x + 1}{e^{x}}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = n) = \frac{a}{n (n + 1)} (n = 1 ， 2 ， 3)$ ，其中 $a$ 为常数，则实数 $a =$ ， $E (3 X) =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 c \cos C = b \cos A + a \cos B$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在（7，11 ]的学生称为运动达人．

分组区间（单位：小时）	（1，3 ]	（3，5 ]	（5，7]	（7，9 ]	（9，11 ]
人数	1	3	4	7	5

(1)、从上述抽取的学生中任取2人，设X为运动达人的人数，求X的分布列；

(2)、以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设Y为运动达人的人数，求Y的分布列．

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19. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2} + 2 x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、已知 $g (x) = - x^{2} + x + 2$ ，若 $f (x) \leq g (x)$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ，点 $(n ， a_{n} + a_{n + 1})$ 在函数 $y = k x + 2$ 的图象上，其中 $k$ 为常数，且 $k \neq 0$ ．

(1)、若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k = 3$ 时，求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 某校对学生关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了50人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分布及对开展数学研究性学习赞成人数如表：

成绩	[40，50)	[50，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90)	[90，100]
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	8	12	5	2	1

(1)、根据以上统计数据完成下面的2×2列联表：能否有97.5%的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为80分分界点有关？

	成绩不低于80分的人数	成绩低于80分的人数	合计.
赞成
不赞成
合计

(2)、若对数学成绩平均分在[70，80)和[80，90)的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成开展数学研究性学习的人数ξ的分布列及数学期望．

附参考公式与数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k₀）	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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22. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a \ln x - (a - 2) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) = c (c \in R)$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求证： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > 0$ ．

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