广东省广州市番禺区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-31 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、{1，2} C、{0，1，2} D、 ${x | x \geq - 1}$

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2. 在复平面内，复数 $(1 + 2 i) i$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在 ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、15 B、 $- 15$ C、30 D、 $- 30$

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4. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 截直线 $y = k (x + 1) (k > 0)$ 所得弦的长度为1，那么k的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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5. 已知随机变量X服从二项分布，即 $X \sim B (n, p)$ ，且 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1.6$ ，则二项分布的参数n，p的值为（）

A、 $n = 4$ ， $p = \frac{1}{2}$ B、 $n = 6$ ， $p = \frac{1}{3}$ C、 $n = 8$ ， $p = \frac{1}{4}$ D、 $n = 10$ ， $p = \frac{1}{5}$

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6. 科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量 $Q$ 可以近似看作时间 $t$ 的函数，记作 $Q (t)$ ，其瞬时变化率 $Q^{'} (t)$ 和 $Q (t)$ 的关系为 $Q^{'} (t) = k Q (t)$ ，其中 $k$ 为常数．在下列选项所给函数中， $Q (t)$ 可能是（）

A、 $Q (t) = e^{- 0.2 t}$ B、 $Q (t) = 0.2 sin t$ C、 $Q (t) = 2 ln (t + 2)$ D、 $Q (t) = 6 {(t + 1)}^{- 1}$

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7. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量， $\vec{c}$ ＝ $\vec{a}$ ＋2 $\vec{b}$ ，若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{c}$ ，则| $\vec{c}$ |＝（）

A、3 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画．在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．某二和弦可表示为 $f (x) = \sin 2 x + \sin 3 x$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 锐角三角形 $A B C$ 的面积是 $\frac{1}{2}$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ .则（）

A、 $B = 45 °$ B、 $B = 135 °$ C、 $A C = 1$ D、 $A C = \sqrt{5}$

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10. 2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero细胞），获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”（EUL）.世卫组织审评认为该疫苗的效力78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到 $注射疫苗的效力 = \frac{对照组发病率 - 疫苗组发病率}{对照组发病率} \times 100 %$ .关于注射疫苗，下列说法正确的是（）

A、只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎 B、注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低 C、若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人.则效力为80% D、若某疫苗组的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病

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11. 如图，正四棱锥S－BCDE底面边长与侧棱长均为a，正三棱锥A－SBE底面边长与侧棱长均为a，则下列说法正确的是（）

A、AS⊥CD B、正四棱锥S－BCDE的外接球半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ C、正四棱锥S－BCDE的内切球半径为 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) a$ D、由正四棱锥S－BCDE与正三棱锥A－SBE拼成的多面体是一个三棱柱

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12. 关于函数 $f (x) = e^{x} + \sin x$ ， $x \in (- π ， π)$ .下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $2 x - y + 1 = 0$ B、 $f (x)$ 有两个零点 C、 $f (x)$ 有两个极值点 D、 $f (x)$ 存在唯一极小值点 $x_{0}$ ，且 $- 1 < f (x_{0}) < 0$

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三、填空题

13. 已知双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，写出双曲线C的一个标准方程：.

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14. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{2} = a_{3}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= $\frac{4}{5}$ ，cosC= $\frac{5}{13}$ ，a=1，则b= ．

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16. 数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个或2个或3个选项，则他能得分的概率为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 构成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为 $π$ ；②最大值为2；③ $f (- \frac{π}{6}) = 0$ ；④ $f (0) = - 2$ ．

(1)、写出能确定 $f (x)$ 的三个条件，并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是边长为1的正方形， $A B = 2$ ，M ， N分别为 $A D ， A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $M A_{1} / /$ 平面 $A N C$ ；

(2)、求直线 $C N$ 与平面 $D_{1} A C$ 所成角的正弦值.

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20. 2019年4月，广东省发布了高考综合改革实施方案，试行“高考新模式”为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：

性别	科目		合计
性别	物理	历史	合计
男生	300		400
女生		150
合计			800

(1)、根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；

(2)、该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得，记3人中男生人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望

E (X)

附： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.8410	6.635	10.828

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$ ，经过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $P M$ 与直线 $P Q$ 垂直，且与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $M$ .

(1)、当点 $M$ 为椭圆 $C$ 的右顶点时，求证： $△ P Q M$ 为等腰三角形；

(2)、当点 $P$ 不是椭圆 $C$ 的顶点时，求直线 $P Q$ 和直线 $Q M$ 的斜率之比.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - (m + 2) x + 2 (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $m > 0$ ，若存在 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，使得不等式 $f (x) < - m x^{2}$ 成立，求m的取值范围.

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