广东省佛山市顺德区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-31 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $z = \frac{5}{{(1 + 2 i)}^{2}}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} i$

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2. 曲线 $C$ ： $y = \frac{\sin x}{x}$ 在点 $P (π ， 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = - \frac{1}{π} x + 1$ B、 $y = \frac{1}{π} x - 1$ C、 $y = π x - π^{2}$ D、 $y = - π x + π^{2}$

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3. 在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（）

A、12种 B、24种 C、64种 D、81种

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在一次年级数学竞赛中，高二（20）班有10%的同学成绩优秀．已知高二（20）班人数占该年级的5%，而年级数学优秀率为2%．现从该年级任意选取一位同学，如果此人成绩优秀，则他来自高二（20）班的概率为（）

A、10% B、15% C、20% D、25%

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6. 已知随机变量 $X ~ N (1 ， σ^{2})$ ， $3 P (X \geq 1.5) = 2 P (X < 1.5)$ ，则 $P (| X - 1 | \leq 0.5) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行 $n$ （ $n \in N^{*}$ ）次射击，设击中目标的次数记为 $X$ ，已知 $P (X = 1) = P (X = n - 1)$ 且 $E (X) = 4$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{| \ln x |}{x^{2}} - \frac{a}{x}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 ${\frac{1}{e}}$ D、 $(0 ， \frac{1}{e})$

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二、多选题

9. 对于式子 ${(3 x - 1)}^{6}$ ，下列说法正确的有（）

A、它的展开式中第4项的系数等于135 B、它的展开式中第3项的二项式系数为20 C、它的展开式中所有项系数之和为64 D、它的展开式中第一项的系数为 $3^{6}$

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10. 在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，我国庄严宣告：脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫！下图表示的是中国农村每年减少贫困人口的数量，以下说法正确的是（）

A、2014年与2016年农村贫困人口基本持平 B、2013-2020年农村贫困人口逐年减少 C、2013-2019年农村贫困人口平均每年减少了1300万以上 D、2012年底农村贫困人口还有9000万以上

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11. 2021年5月18日，《佛山市第七次全国人口普查公报》发布．公报显示，佛山市常住人口为9498863人．为了进一步分析数据特征，某数学兴趣小组先将近五次人口普查数据作出散点图（横坐标为人口普查的序号，第三次普查记为1，……，第七次普查记为5，纵坐标为当次人口普查佛山市人口数），再利用不同的函数模型作出回归分析，如下图，以下说法正确的是（）

A、佛山市人口数与普查序号呈正相关关系 B、散点的分布呈现出很弱的线性相关特征 C、回归方程2的拟合效果更好 D、应用回归方程1可以预测第八次人口普查时佛山市人口会超过1400万

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - x + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在极大值和极小值 B、函数 $f (x)$ 不存在最小值与最大值 C、当 $x \in [0 ， 3]$ 时，函数 $f (x)$ 最大值为 $e$ D、当 $x \in [\frac{1}{2} ， e]$ 时，函数 $f (x)$ 最小值为 $\frac{e^{2}}{3}$

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三、填空题

13. 复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 在复平面内的对应点分别为 $A$ 、 $B$ ，已知点 $A$ 与 $B$ 关于 $x$ 轴对称，且 $(2 - i) z_{1} = 1 + 3 i$ ，则 $| z_{2} | =$

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14. 在6张奖券中有 $k$ 张有奖、其余无奖，从中任取2张，至少有1张有奖的概率为 $\frac{4}{5}$ ，则 $k =$ ．

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15. 某田径队6位运动员的体测成绩如下：甲78，乙86，丙64，丁77，戊83，己93．现从中挑选3位运动员参加集体赛，挑选条件为：
①丁一定要参加；

②3人的体测成绩总分要超过240（不含240）；

③3人的体测成绩方差要小．

那么参加集体赛3人名单应为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x) = e^{x} - x - 1$ ，且函数 $f (x)$ 的图像经过 $(0 ， 2)$ 点，则函数 $f (x)$ 的表达式为 $f (x) =$ ；若对任意一个负数 $x$ ，不等式 $\frac{1}{4} x^{2} < a - f (x) + 1$ 恒成立，则整数 $a$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - m - 6) + (m - 1) i$ ，（ $m \in R$ ），
（Ⅰ）若 $z$ 在复平面内对应的点在虚轴的上半轴（不含原点），求复数 $z$ ；

（Ⅱ）若 $z^{2} \in R$ ，求实数 $m$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + λ x^{2}$ ， $λ \in R$ ，且图像过点 $(1 ， - 2)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [- 1 ， 4]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值 $M$ 和最小值 $m$ ．

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19. 《中国居民营养与慢性病状况报告（2020）年》报告显示，中国成人平均身高继续增长，居民超重、肥胖问题不断凸显．各年龄组居民超重率、肥胖率继续上升，18-44岁居民超重率和肥胖率分别为34%和16%．不健康的生活方式对超重、肥胖产生的影响是巨大的，超重、肥胖的控制必须坚持预防为主．

(1)、根据以上数据，从18-44岁居民中任选2人，求肥胖人数的分布列；

(2)、研究人员在某小区随机调查了男性居民45人，女性居民55人，其中男性超重人数有25人，女性超重人数为15人，请列出

2 \times 2

列联表，并判断是否有99.5%的把握认为超重与性别有关．

参考公式与数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

P（K²≥k₀）	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20. 某工厂为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件进行检测，质量指标 $x_{i}$ （ $i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 10$ ）分值如下：38，70，50，43，48，53，49，57，60， $x_{10}$ 并计算出样本质量指标平均数为53.7，标准差为9.9．生产合同中规定：质量指标在63分以上的产品为优质品，一批产品中优质品的占比不得低于15%．

(1)、从这10件样品中任意抽取2件，求恰有1件优质品的概率；

(2)、根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样品平均数， $σ^{2}$ 近似为样本方差，那么这批产品中优质品的占比是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ．

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21. 某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店A和B，通过一段时间的经营统计，店A和店B每日销售的蛋糕数

X

，

Y

的分布列如下：

$X$	3	4	5	6
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
$Y$	2	4	6
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$

(1)、求店A在3天共卖出15个蛋糕的概率；

(2)、为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行．蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店，那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数），函数 $g (x) = x - \ln x$ ，
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $k = 1$ 时，求证： $g (\frac{1}{x}) = f (x)$ ；

（Ⅲ）当 $k = 1$ ， $m > 1$ 时，已知方程 $f (x) = m$ 有且只有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $0 < x_{1} < 1 < x_{2}$ ；方程 $g (x) = m$ 有且只有两个不相等的实数根 $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $0 < x_{3} < 1 < x_{4}$ ．求证： $x_{1} (1 + x_{4}) + x_{2} (1 + x_{3}) > 4$ ．

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