陕西省西安市莲湖区2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-08-31 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $2021^{0}$ 的结果是（）

A、2021 B、1 C、0 D、 $\frac{1}{2021}$

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2. 下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2020年，陕西省实现社会消费品零售总额9605.92亿元，将数字9605.92亿用科学记数法表示为（）

A、 $9.60592 \times 10^{8}$ B、 $9.60592 \times 10^{9}$ C、 $9.60592 \times 10^{10}$ D、 $9.60592 \times 10^{11}$

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4. 如图，直线 $D E$ 与 $B C$ 相交于点O， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互余， $∠ B O E = 150 °$ ，则 $∠ A O E$ 的度数是（）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $140 °$ D、 $150 °$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} + a^{3} = a^{9}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(2 a)}^{3} = 8 a^{3}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

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6. 在平面直角坐标系中，将直线 $y = 3 x$ 先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，则平移后的新直线为（）

A、 $y = 3 x - 1$ B、 $y = 3 x + 11$ C、 $y = 3 x + 5$ D、 $y = 3 x + 3$

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，M，N是 $B D$ 上两点， $B M = D N$ ，连接 $A M$ ， $M C$ ， $C N$ ， $N A$ ，添加一个条件，使四边形 $A M C N$ 是菱形，这个条件是（）

A、 $O M = \frac{1}{2} A C$ B、 $M B = M O$ C、 $B D ⊥ A C$ D、 $∠ A M B = ∠ C N D$

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8. 如图， $△ A B D$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，作 $A D // O C$ 与 $⊙ O$ 相交于点C，且 $∠ B O C = 110 °$ ，则 $∠ A B D$ 的大小为（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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9. 如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，结论错误的是（）

A、AB=2 $\sqrt{5}$ B、∠BAC=90° C、 $S_{� ABC} = 10$ D、点A到直线BC的距离是2

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10. 若抛物线 $y = 2 x^{2} - b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若 $A B$ 的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（）

A、 $(2 ， 10)$ B、 $(2 ， 18)$ C、 $(2 ， - 10)$ D、 $(2 ， - 18)$

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二、填空题

11. 比较大小： $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{9}$ .（填“>”、“<”或“=”）

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12. 圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为.

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13. 如图， $Rt △ A O B$ 的顶点O在坐标原点上， $∠ O B A = 60 °$ ，若点B在反比例函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象上，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，则k的值为.

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，以 $A B$ 为边，在正方形 $A B C D$ 内部作等边三角形△ $A B E$ ，点P在对角线 $A C$ 上，且 $A C = 6$ ，则 $P D + P E$ 的最小值为.

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三、解答题

15. 计算： $- 1^{2021} - | 1 - \sqrt{3} \tan 30 ° | + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} \times \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ .

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16. 化简： $\frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 1} \div (\frac{3}{a - 1} - a - 1)$ .

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中.请用尺规作图法，求作一个以 $∠ B$ 为内角的菱形 $B E F G$ ，使顶点E、F、G分别在 $B C$ 、 $A C$ 、 $A B$ 边上.

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18. 如图， $D E = B C$ ， $∠ A E D = ∠ C$ ， $∠ 1 = ∠ 2 = 60 °$ .求证： $A E = C E$ .

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19. 第十四届全运会圣火将在西安点燃，西安将再次惊艳全国.2019年8月2日，“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”问世，成为2021年第十四届全国运动会的吉祥物.某校为了让学生进一步了解2021年“吉祥物”相关知识，计划开展“吉祥物知识进课堂”活动，开展活动之前，学校老师随机抽取若干名学生，对“你最感兴趣的吉祥物”进行了调查，经调查统计，结合学生自身的兴趣，每人从“A.朱朱、B.熊熊、C.羚羚、D.金金”中选择一项.现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.结合图中信息解答下列问题：

(1)、请将两幅统计图补充完整，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是 ▲ ；

(2)、在这次调查中，A、B、C、D哪项选择人数少于调查总人数的平均数？

(3)、若本校一共有2000名学生，请估计“对B.熊熊最感兴趣”的人数.

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20. 在学习了相似三角形的应用知识点后，小丽为了测量某建筑 $A B$ 的高度，在地面上的点D与同学们一同竖直放了一根标杆 $C D$ ，并在地面上放置一块平面镜E，已知建筑底端B、E、D点在同一条水平直线上，在标杆顶端点C恰好通过平面镜E观测到建筑顶点A，在点C观测建筑顶点A的仰角为 $30 °$ ，平面镜E的俯角为 $45 °$ ，其中标杆 $C D$ 的长度为1米，问建筑 $A B$ 的高度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 为进一步落实精准扶贫工作.某农科所李教授选择乘坐客车前往目的地.经了解，长途汽车客运站规定乘客可以免费携带一定质量的行李，若携带行李质量超出免费的范围.乘客需自行购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（千克）之间的关系如图所示.

(1)、求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围.

(2)、当李教授携带72千克行李时，行李费需要多少钱？

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22. 小红和小兵进行摸球试验，在一个不透明的空布袋中放有4个小球.分别标号1，2，3，4，小球除数字不同外其他都相同.试验规则：摸球前先搅拌均匀，每次随机摸一个小球，记下数字后，称为摸球一次.

(1)、若小兵随机摸球一次，摸到标号为奇数的概率为；

(2)、若小红从袋中不放回地随机摸两次，请用列表法或画树状图法求出两球标号均为偶数的概率.

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 、 $B C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦， $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线，且 $O E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点D.

(1)、求证： $C E = D E$ .

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为8， $C E = 6$ ，求弦 $A C$ 的长.

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24. 如图，抛物线 $C_{1}$ ： $y = - x^{2} + m x + n$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $y = a x^{2} - 4 x + 5 (a \neq 0)$ 关于y轴对称， $C_{1}$ 与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的函数表达式.

(2)、在抛物线 $C_{1}$ 上是否存在一点N，在抛物线 $C_{2}$ 上是否存在一点M，使得以 $A B$ 为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图

(1)、如图1，在等边 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ .点P、D、E分别为边 $B C$ 、 $A B$ 、 $A C$ 上（均不与端点重合）的动点.
①当点P为 $B C$ 的中点时，在图1中，作出 $△ P D E$ ，使 $△ P D E$ 的周长最小，并直接写出 $△ P D E$ 的周长的最小值；

②如图2，当 $P B = 2$ 时，求 $△ P D E$ 的周长的最小值.

(2)、如图3，在等腰 $△ A B C$ 中. $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ，点P、Q、R分别为边 $B C$ 、 $A B$ 、 $A C$ 上（均不与端点重合）的动点，求 $△ P Q R$ 周长的最小值并简要说明理由.

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