初中数学湘教版八年级上册1.4分式的加法和减法同步练习

试卷更新日期：2021-08-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 化简 $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}$ 的结果是（）

A、x+1 B、 $\frac{1}{x + 1}$ C、x-1 D、 $\frac{x}{x - 1}$

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2. 计算 $\frac{4}{x + 2} - \frac{x^{2}}{x + 2}$ 的结果是（）

A、 $2 - x$ B、 $x - 2$ C、 $\frac{1}{2 - x}$ D、 $\frac{1}{x - 2}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{a} = \frac{3}{2 a}$ B、 $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a} = 1$ C、 $1 + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$ D、 $\frac{1}{a - b} - \frac{1}{b - a} = 0$

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4. 化简 $\frac{x^{2}}{x + 2} - x + 2$ 的结果是（）

A、 $\frac{2 x^{2} + 4}{x + 2}$ B、 $\frac{4}{x + 2}$ C、 $\frac{8 x}{x^{2} - 4}$ D、 $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x - 2}{x^{2} - 4}$

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5. 化简 $\frac{a - b}{a} \div (a - \frac{b^{2}}{a})$ 的结果是（）

A、a+b B、a-b C、 $\frac{1}{a + b}$ D、 $\frac{1}{a - b}$

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6. 如果分式 $\frac{A}{x - 2} + \frac{4}{2 - x}$ 化简后的结果是 $x + 2$ ，则A表示的整式（）

A、 $x^{2}$ B、 $x^{2} + 4 x + 8$ C、 $x^{2} - 8$ D、 $- x^{2}$

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7. 已知： $x$ 是整数， $M = \frac{x + 1}{2}, N = \frac{2 x}{x + 1}$ .设 $y = \frac{2}{M} + N$ .则符合要求的 $y$ 的正整数值共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 若 $\frac{x}{x - 1} = () - \frac{2 x - 1}{1 - x}$ ，则（）中的数是（）

A、-1 B、1 C、-2 D、任意实数

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9. 已知 $a - b = 2 a b$ ，则 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（　　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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10. 已知实数x、y、z满足 $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ ，则 $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y}$ 的值（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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二、填空题

11. 若 $a = 2, b = - 1$ ，则分式 $\frac{4 b^{2} - 4 a^{2}}{a^{2} - a b}$ 的值是.

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12. 计算： $(\frac{3 x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2}) \div \frac{x}{x^{2} - 4} =$ .

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13. 已知 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{x y}{x + y}$ 的值是.

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14. 若 $a = \frac{- 1 + \sqrt{1 - 4 t}}{2}$ ， $b = \frac{- 1 - \sqrt{1 - 4 t}}{2}$ ，则 $\frac{a b}{a + b}$ ＝（结果用含t的式子表示）．

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15. 不改变分式的值，把所给分式的分子和分母中各项的系数化为整数： $\frac{0.5 x + y}{0.2 x - 4}$ =.

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16. 式子 $| \begin{array}{l} a \\ c \end{array} \begin{array}{l} b \\ d \end{array} |$ $\frac{2000 - 400 - 440 - 260 - 2000 \times 5 %}{2000}$ 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 $| \begin{array}{l} a \\ c \end{array} \begin{array}{l} b \\ d \end{array} |$ ＝ad﹣bc，则二阶行列式 $| \begin{array}{l} a^{2} - a \\ a \end{array} \begin{array}{l} 1 \\ \frac{1}{a^{2} - 1} \end{array} |$ ＝ .

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17.
若记y=f（x）= $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ ，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）= $\frac{1^{2}}{1 + 1^{2}} = \frac{1}{2}$ ；f（ $\frac{1}{2}$ ）表示当x= $\frac{1}{2}$ 时y的值，即；…；则f（1）+f（2）+f（ $\frac{1}{2}$ ）+f（3）+f（ $\frac{1}{3}$ ）+…+f（2011）+f（ $\frac{1}{2011}$ ）=。

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三、计算题

18. 先化简，再求值：（ $\frac{1}{a + 2}$ ﹣ $\frac{1}{a - 2}$ ）÷ $\frac{1}{a - 2}$ ，其中a=﹣6．

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19. 计算：

(1)、 $\frac{2 x}{2 x - y} + \frac{y}{y - 2 x}$ ；

(2)、 $a - 1 + \frac{3 a - 6}{a^{2} - 4} \div \frac{3 a + 3}{a + 2}$ .

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20. 先化简，再求值：( $1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - a}{a + 1}$ ，其中 $a = 1 + \sqrt{3}$

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四、解答题

21. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{2 x^{2} - 6 x} \div (x - \frac{9}{x})$ ，其中x＝2．

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22. 分式化简：

(1)、 $(1 + \frac{1}{x}) \div \frac{x^{2} - 1}{x}$

(2)、 $(1 + \frac{3}{a - 2}) \div \frac{a + 1}{a^{2} - 4}$

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23. 已知b=2a≠0，计算 $\frac{1}{2 a} - \frac{1}{a + b} \cdot (\frac{a + b}{2 a} - a + b)$

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24. 化简代数式： $\frac{x + 4}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x}$ ，直接写出 $x$ 为何整数时，该代数式的值也为整数.

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五、综合题

25. 将 $a$ 克糖放入水中，得到 $b$ 克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为 $\frac{a}{b} (b > a > 0)$ .

(1)、再往杯中加入 $m (m > 0)$ 克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；

A、 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a + m}{b + m} = \frac{a}{b}$ C、 $\frac{a + m}{b + m} < \frac{a}{b}$

(2)、请证明你的选择.

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26. 已知分式 $A = (1 + \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a + 1}$ .

(1)、化简这个分式；

(2)、若当a取正整数时，求得分式A的值也是正整数，试求a的值.

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27. 在解答“先化简式子 $\frac{2 x + 6}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x^{2} + 3 x}{x - 2}$ ，再选一个你认为合适的整数x代入求值”这个题时，小明选取 $x = - 3$ ，计算得原式的值为 $\frac{2}{15}$ .

(1)、你认为小明的计算正确吗？为什么？

(2)、请你写出你的解答过程.

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28. 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$

$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$     第一步

$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$            第二步

$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$         第三步

$= \frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)}$         　第四步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)}$            　第五步

$= - \frac{5}{2 x + 6}$                 　第六步

任务一：填空：①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或填为；

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.

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29. 探究:

(1)、若 $\frac{x - 1}{x + 1}$ =1+ $\frac{a}{x + 1}$ ,试求a的值.

(2)、若 $\frac{x^{2}}{x - 2}$ = x+2+ $\frac{b}{x - 2}$ ,试求b的值.

(3)、如果分式 $\frac{2 x^{2} - 7}{x - 2}$ 的值为整数,求x的整数值.

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30. 已知 $x = a (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ ， $y = b (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$ ， $z = c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = 2$ 时，求 $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1}$ 的值；

(2)、当 $a b + b c + a c \neq 0$ 时,求 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1}$ 的值．

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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