广东省佛山市南海区2020-2021学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-08-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | x \geq 1}$ B、 ${x | x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 2}$

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2. 已知 $x \in R$ ，则“ $x = - 2$ ”是“ $x^{2} - 5 x - 6 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 x})}^{6}$ 的展开式中，常数项是（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、7 C、14 D、15

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4. 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 2 i (1 - i)$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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5. 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级 $d (x)$ （单位：dB）与声音强度 $x$ （单位： $W / m^{2}$ ）满足 $d (x) = 9 \lg \frac{x}{1 \times 10^{- 13}}$ ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）

A、36dB B、63 dB C、72 dB D、81 dB

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6. 有一批谷类种子，如果每1粒种子发芽的概率为 $\frac{1}{2}$ ，那么插下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} \ln | x |}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 对一个物理量做 $n$ 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差 $ε_{n} ~ N (0 ， \frac{2}{n})$ ．为使误差 $ε_{n}$ 在 $(- 0.5 ， 0.5)$ 的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（）
（参考数据：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ）

A、8 B、10 C、30 D、32

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二、多选题

9. 已知集合 $M = {m | m = i^{n} ， n \in N}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则下列元素属于集合 $M$ 的是（）

A、 $(1 + i) (1 - i)$ B、 $\frac{1 - i}{1 + i}$ C、 $| \frac{\sqrt{3} + i}{2 i} |$ D、 ${(1 - i)}^{2}$

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10. 为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周）纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨），根据统计图分析，下列结论正确的是（）

A、当 $x \in [0 ， 2)$ 时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B、当 $x \in [2 ， 4)$ 时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 C、当 $x \in [4 ， 6)$ 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 $x \in [2 ， 4)$ 时增长了25% D、当 $x \in [6 ， 8]$ 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 $x \in [0 ， 2)$ 时减少了1.8吨

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11. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a b = 9$ ，则（）

A、 $3^{a - b} > 1$ B、 $\log_{3} a - \log_{3} b > 1$ C、 $3^{a} + 3^{b} > 54$ D、 $\log_{3} a \cdot \log_{3} b < 1$

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x)$ 是奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 是周期函数 C、 $f (x + 3)$ 为奇函数 D、 $f (x + 5)$ 为偶函数

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = x + 2 \ln x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为．

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14. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学在上午(前4节)，体育排在下午（后2节），不同的排法种数是.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 的值域为 $[- 2 ， 2]$ ，则 $f (x)$ 的定义域可以是．（写出一个符合条件的即可）

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16. 甲、乙两人下围棋，下3盘棋，甲平均能赢2盘．某日甲、乙进行5盘3胜制比赛，那么甲胜出的概率为．

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四、解答题

17. 李老师对高二两个班级的105名学生进行了数学学科的学情调查，数据如下：在75名男生中，有45名男生对数学很感兴趣；在30名女生中，有10名女生对数学很感兴趣；其余学生对数学兴趣一般．

(1)、填写下面列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“对数学学科是否很感兴趣与性别有关系”？

	男生	女生	总计
很感兴趣
兴趣一般
合计			105

(2)、李老师为进一步了解情况，对两个班级的各个学习小组进行抽样调查，每组随机抽3人，已知小明和小芳2名学生所在的学习小组有5人，求抽到的3名学生中，小明和小芳没有同时被抽到的概率．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

P（K²≥k）	0.050	0.025	0.010	0.001
k	3.841	5.024	6.635	10.828

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18. 近年我国外贸企业一手抓防控，一手抓生产，产销形势喜人．自2020年6月以来，我国外贸进出口连续实现正增长，出口国际市场占世界的份额不断攀升，外贸发展韧性强劲．某个远洋运输公司出口营业额增长数据表如下：

月份	2020年6月	2020年7月	2020年8月	2020年9月	2020年10月	2020年11月	2020年12月	2021年1月
月份代码 $x$	1	2	3	4	5	6	7	8
新增出口营业额 $y$ 亿元	2.4	2.8	3.6	5.1	7.1	9.1	11.7	14.2

某位同学分别用两种模型：① $\hat{y} = \hat{b} x^{2} + \hat{a}$ ，② $\hat{y} = \hat{c} x + \hat{d}$ 进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于 $y_{i} - {\hat{y}}_{i}$ ）：

这位同学在进行拟合时，对数据作了初步处理，得到一些统计量的值： $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 72.8$ ， $\sum_{i = 1}^{8} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 42$ ， $\sum_{i = 1}^{8} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 686.8$ ， $\sum_{i = 1}^{8} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 3570$ ．其中 $t_{i} = x_{i}^{2}$ ， $\bar{t} = \frac{1}{8} \sum_{i = 1}^{8} t_{i}$ ．

(1)、根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程，并预测该远洋运输公司2021年3月新增出口营业额．（精确到0.01）

附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \cdot \cdot \cdot ， (u_{n} ， v_{n})$ ，回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

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19. 已知 $f (x) = - \frac{1}{2} a x^{2} + a x + (x - 2) e^{x}$ ，其中 $a > 0$ ， $e$ 为自然对数的底数．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 有一大批产品，其验收方案是：先从这批产品中取6件作检验，这6件产品中优质品的件数记为 $n$ （ $n \leq 6$ ， $n \in N$ ），如果 $n = 6$ 则接收这产品，如果 $n \leq 3$ 则拒收；其他情况下做第二次检验，其做法是从产品中再另任取2件，逐一检验，若检验过程中检验出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检验，且仅当这2件产品都为优质品时接收这批产品．假设这批产品的优质品率为 $\frac{2}{3}$ ，且各件产品是否为优质品相互独立．

(1)、求这批产品被接收的概率；

(2)、若第一次检验费用固定为1000元，第二次检验费用为每件产品100元，记 $X$ （单位：元）为整个产品检验过程中的总费用，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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21. 已知函数 $f (x) = (2 m - x) e^{x}$ （ $x > 0$ ），其中 $m \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) + x e^{x} \geq e^{x} \ln x - e^{2 x}$ ，求 $m$ 的最小整数值．

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2} + x$

(1)、若 $f (x)$ 单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - 3 x + 1$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $F (x_{2}) + (\frac{1}{2} - \ln 2) x_{1} > \frac{1}{2} - \ln 2$ ．

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