广东省潮州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ $= i$ $(1 + i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 若由一个

2 \times 2

列联表中的数据计算得

K^{2} = 4.013

，那么有（）把握认为两个变量有关系.

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

A、95% B、97.5% C、99% D、99.9%

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3. 以下求导正确的是（）

A、 $(\cos x)^{'} = \sin x$ B、 $(\log_{2} x)^{'} = \frac{1}{x}$ C、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ D、 $(1 + \ln x)^{'} = 1 + \frac{1}{x}$

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4. 曲线 $y = x^{3} - 2 x^{2}$ 在点 $(1 ， - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = x - 2$ B、 $y = - 3 x + 2$ C、 $y = 2 x - 3$ D、 $y = - x$

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5. 若 $A_{n}^{3} = 6 C_{n}^{2}$ ，则 $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布， $X ~ N (4 ， σ^{2})$ ，且 $P (X ⩽ 2) = 0.3$ ，则 $P (X ⩽ 6) =$ （）

A、0.3 B、0.4 C、0.85 D、0.7

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7. 疫情期间，潮州某医院安排4名医生到湖北3个不同的医院支援，每名医生只去一个医院，每个医院至少安排一名医生，则不同的安排方法共有（）

A、18种 B、36种 C、6种 D、72种

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8. 100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（）

A、 $\frac{3}{49}$ B、 $\frac{1}{98}$ C、 $\frac{1}{97}$ D、 $\frac{3}{50}$

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9. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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10. 函数f(x)＝ $\frac{e^{x}}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 若函数y＝x³＋ $\frac{3}{2}$ x²＋m在[-2，1]上的最大值为 $\frac{9}{2}$ ，则m等于（）

A、0 B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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12. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} - k x - 1 & ， x \in (- \infty ， 0) \\ x \ln x & ， x \in (0 ， e] \end{array}$ 图象上恰存在两个点关于 $y$ 轴对称，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 1 + \frac{1}{e}]$ B、 ${1} \cup (1 + \frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 ${1}$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 复数 $z = \frac{1 - i}{1 + 2 i}$ (其中 $i$ 是虚数单位)在复平面内对应的点在第象限.

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14. 在 ${(x^{2} + \frac{2}{x^{3}})}^{5}$ 的展开式中，常数项为.(用数字作答)

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15. 如图，圆形花坛分为 $4$ 部分，现在这 $4$ 部分种植花卉，要求每部分种植 $1$ 种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有 $5$ 种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有种（用数字作答）

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16. 已知可导函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，满足 $x f^{'} (x) - 2 f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 4$ ，则不等式 $f (2^{x}) > 4^{x}$ 的解集是．

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三、解答题

17. 已知复数 $z_{1}$ 满足 $z_{1} \cdot i = 1 + i (i$ 为虚数单位)，复数 $z_{2} = m + 2 i (m \in R)$ .

(1)、求 $z_{1}$ ；

(2)、若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是纯虚数，求 $m$ 的值.

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18. 已知 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ .

(1)、求 $a_{5}$ 的值；

(2)、求 $a_{0} + a_{2} + a_{4}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b l n x$ 在 $x = 1$ 处有极值 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间．

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20. 如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 $x$ 和所支出的维修费用 $y$ (万元)的几组对照数据：

$x$ (年 $)$

3

4

5

6

$y$ (万元)

2.5

3

4

4.5

(1)、若知道 $y$ 对 $x$ 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$

(2)、已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元.试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少？
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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21. 2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的 $C O V I D - 9$ 病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为 $\frac{1}{2}$ ，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.

(1)、求一个接种周期内出现抗体次数 $K$ 的分布列；

(2)、已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：
①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 $X$ 元；

②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 $Y$ 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + m) e^{x}$

(1)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 1]$ 上是减函数，求实数m的取值范围；

(2)、当 $m = 0$ 时，若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $n x \ln (n x) \leq f (2 x)$ 恒成立，求实数n的取值范围．

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$x$ (年 $)$	3	4	5	6
$y$ (万元)	2.5	3	4	4.5