高中数学人教A版（2019）选修一第一章空间向量与立体几何

试卷更新日期：2021-08-29 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，向量 $\vec{a} = (2, - 3, 5)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, 5)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(0, 1, 10)$ B、 $(- 4, 7, 0)$ C、 $(4, - 7, 0)$ D、 $(- 4, - 12, 25)$

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2. 已知 $\vec{a} = (- 1, - 2, 1), \vec{b} = (1, x, - 2)$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 13$ ，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 已知空间任意一点О和不共线的三点A，B，C，若 $\vec{O D} = m \vec{O A} + n \vec{O B} + p \vec{O C} (m, n, p \in R)$ ，则“A，B，C，D四点共面”是“ $m = \frac{3}{2}$ ， $n = \frac{1}{2}$ ， $p = - 1$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{n_{1}} = (1 ， 2 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{n_{2}} = (- 2 ， - 4 ， k)$ ，若 $α / / β$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、-4 C、-2 D、4

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5. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则直线 $A_{1} B$ 与平面 $B D E$ 所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{5}{6} π$

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6. 如图，正三角形 $A C B$ 与正三角形 $A C D$ 所在平面互相垂直，则二面角 $B - C D - A$ 的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $C_{1} C$ ， $D_{1} A_{1}$ ， $A B$ 的中点，求点 $A$ 到平面 $E F G$ 的距离（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为线段 $A_{1} D$ 的中点， $N$ 为线段 $C D_{1}$ 上的动点，则直线 $C_{1} D$ 与直线 $M N$ 所成角正弦值的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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二、多选题

9. 已知空间四点 $O (0 ， 0 ， 0) ， A (0 ， 1 ， 2) ， B (2 ， 0 ， - 1) ， C (3 ， 2 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 2$ B、 $\cos < \vec{O A} ， \vec{O B} > = - \frac{2}{5}$ C、点O到直线 $B C$ 的距离为 $\sqrt{5}$ D、O，A，B，C四点共面

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10. 将直角三角形 $A B C$ 沿斜边上的高 $A D$ 折成 $120^{\circ}$ 的二面角，已知直角边 $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = \sqrt{6}$ ，那么下列说法正确的是（）

A、平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ B、四面体 $D - A B C$ 的体积是 $\sqrt{6}$ C、二面角 $A - B C - D$ 的正切值是 $\frac{\sqrt{42}}{3}$ D、 $B C$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{21}}{14}$

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11. （多选题）在如图所示的几何体中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1}$ ， $B G$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 均与底面 $A B C D$ 垂直，且 $A A_{1} = C C_{1} = D D_{1} = 2 B G = 2$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为线段 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 B、三棱锥 $G - A C D$ 的外接球的表面积是 $3 π$ C、点 $C_{1}$ 到平面AEF的距离为 $\frac{2}{3}$ D、若点 $P$ 在线段 $A D_{1}$ 上运动，则异面直线 $E F$ 和 $C P$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{3}]$

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折到 $△ P B D$ 位置，连结 $P C$ ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $P C$ 与平面 $B C D$ 所成的最大角为 $45^{\circ}$ B、存在某个位置，使得 $P B ⊥ C D$ C、当二面角 $P - B D - C$ 的大小为 $90^{\circ}$ 时， $P C = \sqrt{6}$ D、存在某个位置，使得 $B$ 到平面 $P D C$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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三、填空题

13. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3 ， B C = 3 ， A B = 3 \sqrt{2} ， A A_{1} = 2$ ，则异面直线 $A_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为.

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14. 棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点，则点 $B$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离为．

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15. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2$ ， $D S = 1$ ，平面 $A S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S D ⊥ A D$ ，点 $E$ 为 $D C$ 上的动点，平面 $B S E$ 与平面 $A S D$ 所成的二面角为 $θ$ （ $θ$ 为锐角），则当 $θ$ 取最小值时，三棱锥 $E - A S D$ 的体积为.

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16. 已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为．

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四、解答题

17. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上， $B E ⊥ E C_{1}$ ．

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A E = A_{1} E$ ， $A D = 1$ ，求二面角 $B - E C - C_{1}$ 的余弦值．

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18. 如图1所示，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 4 \sqrt{3}$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，现沿着对角线 $A C$ 折成一个四面体 $A B C D$ ，如图2所示．

(1)、在图2中，证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若图2中 $B D = 6 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是线段 $B D$ 的三等分点（靠近点 $D$ ），求二面角 $P - A C - D$ 的余弦值．

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19. 如图，四梭锥 $E - A B C D$ 中， $A E ⊥ A B ， A C ⊥ B C ， B A = 2 A C$ ， $A C = A E = A D = C D ， M$ 为 $C D$ 中点.

(1)、求证： $A B ⊥ E M$ ；

(2)、若二面角 $E - A B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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20. 如图，面 $B C C_{1} B_{1}$ 是某圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面），线段 $A A_{1}$ 是该圆柱的一条母线， $B C = 2 A B$ ，点D为 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、当点E为棱BC的中点时，求证： $A E //$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、当轴截面 $B C C_{1} B_{1}$ 是边长为2的正方形时，求平面 $B D B_{1}$ 与平面 $B C_{1} D$ 所成角的正弦值．

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21. 如图，四边形 $A B E F$ 是矩形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = A C = 4$ ， $A F = 2$ ．

(1)、在直线 $A C$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $D M //$ 平面 $A B F$ ？若存在，试确定点 $M$ 的位置并证明，若不存在，请说明理由；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $A D F$ 所成角的正弦值．

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22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)、求证：AE⊥平面PBC；

(2)、是否存在点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

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高中数学人教A版（2019） 选修一 第一章 空间向量与立体几何

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

高中数学人教A版（2019）选修一第一章空间向量与立体几何