湘教版数学九年级上册同步训练《2.4 一元二次方程根与系数的关系》

试卷更新日期：2021-08-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在解一元二次方程x²+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）

A、x²+2x﹣3＝0 B、x²+2x﹣20＝0 C、x²﹣2x﹣20＝0 D、x²﹣2x﹣3＝0

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2. 已知 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两根，则代数式 $2 a^{3} - 6 a^{2} + b^{2} + 7 b + 1$ 的值是（）

A、-25 B、-24 C、35 D、36

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3. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + k = 0$ 的两个根，则 $k$ 的值为（）

A、3 B、4 C、3或4 D、7

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4. 若一元二次方程x²﹣x﹣2＝0的两根为x₁ ， x₂ ，则（1+x₁）+x₂（1﹣x₁）的值是（）

A、4 B、2 C、1 D、﹣2

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5. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - m^{2} = 0$ 的两根，下列结论中不一定正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} > 0$ B、 $x_{1} \cdot x_{2} < 0$ C、 $x_{1} \neq x_{2}$ D、方程必有一正根

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6. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 的两不相等的实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} - 17 = 0$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ 或 $- 3$ B、 $- 3$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x + m^{2} = 0$ 的两个实数根互为倒数，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、1或 $- 1$ D、0

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8. 设a，b是方程 $x^{2} + x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 2 a + b$ 的值为（）

A、2020 B、2021 C、2022 D、2023

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9. 关于x的方程 $(x - 3) (x - 2) = p^{2}$ （p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A、两个正根 B、两个负根 C、一个正根，一个负根 D、根的符号与p的值有关

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10. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 m - 1 = 0$ 的两个实数根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 7$ ，则 ${(x_{1} - x_{2})}^{2}$ 的值是（）

A、1 B、12 C、13 D、25

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二、填空题

11. 关于x的方程x²﹣x﹣1＝0的两根分别为x₁、x₂则x₁+x₂﹣x₁•x₂的值为 .

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12. 已知 $m ， n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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13. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + 4 m + 2 n$ 的值是.

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14. 已知 $x_{1}, x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ 的值是．

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15. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1}^{2} + 3 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ 的值是．

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16. 若实数a、b满足a²﹣8a+5＝0，b²﹣8b+5＝0，则a+b的值．

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三、解答题

17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 m - 1 = 0$ 有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 两实数根.

(1)、若 $x_{1} = 1$ ，求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值；

(2)、是否存在实数 $m$ ，满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{6}{m - 5}$ ？若存在，求出求实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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18. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x - 2 x - m^{2} + m - 6 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两根互为相反数，求 $m$ 的值．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 k + 8 = 0$ 有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3} = 24$ ，求k的值.

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20. 若x₁ ， x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个根，则x₁+x₂＝﹣ $\frac{b}{a}$ ，x₁•x₂＝ $\frac{c}{a}$ .现已知一元二次方程px²+2x+q＝0的两根分别为m，n.

(1)、若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；

(2)、若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值.

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21. 已知：关于x的一元二次方程 $x^{2} + \sqrt{m} x - 2 = 0$ 有两个实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、设方程的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且满足 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} - 17 = 0$ ，求m的值.

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22. 阅读材料：已知方程p²﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q²＝0且pq≠1，求 $\frac{p q + 1}{q}$ 的值．
解：由p²﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q²＝0可知p≠0，

又∵pq≠1，

∴p≠ $\frac{1}{q}$ ．

∵1﹣q﹣q²＝0可变形为 ${(\frac{1}{q})}^{2} - \frac{1}{q}$ ﹣1＝0，

根据p²﹣p﹣1＝0和 ${(\frac{1}{q})}^{2} - \frac{1}{q}$ ﹣1＝0的特征，

∴p、 $\frac{1}{q}$ 是方程x²﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，

则p+ $\frac{1}{q}$ ，即 $\frac{p q + 1}{q} = 1$ ．

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．

已知：2m²﹣5m﹣1＝0， $\frac{1}{n^{2}} + \frac{5}{n} - 2 = 0$ ，且m≠n ，求：

(1)、mn的值；

(2)、 $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}}$ ．

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