北师版数学九年级上册同步训练《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》

试卷更新日期：2021-08-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若一元二次方程x²-3x=4的两个实数根分别为x₁和x₂ ，则x₁x₂的值为

A、-3 B、3 C、-4 D、4

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2. 已知x₁ ， x₂是方程x²﹣3x﹣2＝0的两根，则x₁²+x₂²的值为（）

A、5 B、10 C、11 D、13

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3. 已知m，n是一元二次方程 $x^{2} + x - 2021 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $m^{2} + 2 m + n$ 的值等于（）

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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4. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 mx + m^{2} -m = 0$ 的两实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，满足 $x_{1} x_{2} = 2$ ，则 $（ {x_{1}}^{2} + 2 ）（ {x_{2}}^{2} + 2 ）$ 的值是（）

A、8 B、16 C、32 D、16或40

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5. 设方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两根分别是 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、3 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- 2$

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6. 菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的一个根，则菱形ABCD的周长为（）

A、16 B、12 C、12或16 D、无法确定

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7. 设 $α$ ， $β$ 是方程 $x^{2} + 9 x + 1 = 0$ 的两根，则 $(α^{2} + 2009 α + 1) (β^{2} + 2009 β + 1)$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2000 D、4000000

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $5 x^{2} + k x - 6 = 0$ 的一个根是2，则另一个根是（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、3 D、 $- 3$

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9. 若m，n为方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根，则多项式 $m^{2} + 3 n$ 的值为（）

A、-8 B、-9 C、9 D、10

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10. 已知关于x的方程x²+kx+2＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + x_{1} x_{2} = 0$ ，则k的值为（　　）

A、0 B、2 C、4 D、8

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二、填空题

11. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 3 x = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} =$ .

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12. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} =$ ．

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13. 实数 $m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两个根，则多项式 $m n - m - n$ 的值为.

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14. 已知一元二次方程 $x^{2} + x - 2021 = 0$ 的两根分别为m，n，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为.

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15. 关于x的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - m = 0$ 有两个实数根 $α ， β$ .且 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = 1$ .则 $m =$ .

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16. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + 2 x {}_{1}x_{2} + \frac{x_{1}}{x_{2}} =$

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三、解答题

17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ .

(1)、求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根.

(2)、如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且k与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求k所有可能的值.

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + \frac{1}{2} k^{2} - 2 = 0$ .

(1)、求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} - x_{2} = 3$ ，求k的值.

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19. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m + 2 = 0$ 的两个实数根.

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、是否存在实数 $m$ ，使得等式 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = m - 2$ 成立?如果存在，求出 $m$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $k^{2} x^{2} - 2 (k - 1) x + 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ .

(1)、求 $k$ 的取值范围.

(2)、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足等式 $| x_{1} + x_{2} | = 5 x_{1} x_{2} - 1$ ，求 $k$ 的值.

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m - 2 = 0$ .

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + 3 x_{1} x_{2} = 1$ ，求 $m$ 的值.

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22. 已知关于x的方程 $x^{2} - 4 x + k + 1 = 0$ 有两实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、设方程两实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{3}{x_{1}} + \frac{3}{x_{2}} = x_{1} x_{2} - 4$ ，求实数k的值.

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