北师版数学九年级上册同步训练《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》

试卷更新日期：2021-08-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 方程 $x^{2} - x = 56$ 的根是（）

A、 $x_{1} = 7 ， x_{2} = 8$ B、 $x_{1} = 7 ， x_{2} = - 8$ C、 $x_{1} = - 7 ， x_{2} = 8$ D、 $x_{1} = - 7 ， x_{2} = - 8$

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2. 一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　）

A、x＝2 B、x₁＝0，x₂＝2 C、x₁＝2，x₂＝1 D、x＝﹣1

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3. 方程 $x^{3} - 4 x = 0$ 的解是（）

A、2或0 B、±2或0 C、2 D、－2或0

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4. 已知直角三角形的两条边长分别是方程x²-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（）

A、6或8 B、10或 $2 \sqrt{7}$ C、10或8 D、 $2 \sqrt{7}$

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5. 方程 $2 (x + 1) = x (x + 1)$ 的解为（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ D、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$

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6. 已知实数x满足（x²﹣2x+1）²+4 （x²﹣2x+1）﹣5＝0，那么x²﹣2x+1的值为（）

A、﹣5或1 B、﹣1或5 C、1 D、5

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7. 方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（）

A、x= $\frac{5}{2}$ B、x=3 C、x₁= $\frac{5}{2}$ ，x₂=3 D、x₁=﹣ $\frac{5}{2}$ ，x₂=3

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8. 下列说法中，正确的说法有（）
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；

②一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根是 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = - 1$ ；

③两个相似三角形的周长的比为 $\frac{2}{3}$ ，则它们的面积的比为 $\frac{4}{9}$ ；

④对角线互相垂直的平行四边形为正方形；

⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 已知关于x的一元二次方程3x²﹣2xy-y²=0的，则 $\frac{x}{y} =$ （）

A、1 B、1或 $\frac{1}{3}$ C、1或﹣ $\frac{1}{3}$ D、﹣ $\frac{1}{3}$

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10. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x²+2x﹣3＝0的根，则平行四边形ABCD的周长为（）

A、12-6 $\sqrt{2}$ B、6 $\sqrt{2}$ +12 C、4+2 $\sqrt{2}$ D、4-2 $\sqrt{2}$

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二、填空题

11. 对于任意实数a、b，定义一种运算： $a \otimes b = a^{2} + b^{2} - a b$ ，若 $x \otimes (x - 1) = 3$ ，则x的值为.

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12. 如图是一张长 $12 c m$ ，宽 $10 c m$ 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积 $24 c m^{2}$ 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 $c m$ ．

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13. 当x=时，代数式x²+4x的值与代数式2x+3的值相等.

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14. 阅读理解：对于x³﹣（n²+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x³﹣（n²+1）x+n＝x³﹣n²x﹣x+n＝x（x²﹣n²）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x²+nx﹣1）．

理解运用：如果x³﹣（n²+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x²+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x²+nx﹣1＝0，

因此，方程x﹣n＝0和x²+nx﹣1＝0的所有解就是方程x³﹣（n²+1）x+n＝0的解．

解决问题：求方程x³﹣5x+2＝0的解为．

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15. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 满足 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，若 $| \begin{array}{l} a & 3 a \\ 2 & 2 a \end{array} | = 8$ ，则 $a =$ .

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16. 数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：

已知实数a，b同时满足a²+2a＝b+2，b²+2b＝a+2，求代数式 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值．

结合他们的对话，请解答下列问题：

(1)、当a＝b时，a的值是．

(2)、当a≠b时，代数式

\frac{b}{a} + \frac{a}{b}

的值是．

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三、解答题

17. 解方程： $x (x - 7) = 8 (7 - x)$ ．

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18. 解方程： $(x + 2) (x - 5) = 3 x - 15$ ．

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19. 解方程： $x (x - 1) = 4 x - 4$ .

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20. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．

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21. 解方程：x²﹣1＝3（x+1）.

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22. 小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）²的过程如下框：

小敏：

两边同除以（x﹣3），得

3＝x﹣3，

则x＝6．

小霞：

移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）²＝0，

提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．

则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，

解得x₁＝3，x₂＝0．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

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23. 阅读例题，解答下题．
范例：解方程：x²+∣x+1∣﹣1=0

解：⑴当x+1≥0，即x≥﹣1时，

x²+x+1﹣1=0

x²+x=0

解得x₁=0 ， x₂=﹣1

⑵当x+1<0，即x<﹣1时，

x²﹣(x+1)﹣1=0

x²﹣x﹣2=0

解得x₁=﹣1，x₂=2

∵x<﹣1，∴x₁=﹣1，x₂=2都舍去.

综上所述，原方程的解是x₁=0，x₂=﹣1

依照上例解法，解方程：x²﹣2∣x－2∣－4=0

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24. 如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程.

序号	方程	方程的解
1	x²+x﹣2﹣＝0	x₁＝﹣2	x₂＝1
2	x²+2x﹣8﹣＝0	x₁＝﹣4	x₂＝2
3	x²+3x﹣18＝0	x₁＝	x₂＝
…	…	…	…

(1)、解方程3，并将它的解填在表中的空白处；

(2)、请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解.

(3)、根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解.

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