北师版数学九年级上册同步训练《2.3 用公式法求解一元二次方程》

试卷更新日期：2021-08-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的根是（）

A、 $1 - \sqrt{5}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $- 1 + \sqrt{5}$ D、 $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

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2. 将关于x的一元二次方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将 $x^{2}$ 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x - q) =$ …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，且 $x > 0$ ，则 $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x$ 的值为（）

A、 $1 - \sqrt{5}$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $1 + \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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3. 已知 $α$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 较大的根，则下列对 $α$ 值估计正确的是（）

A、 $2 < α < 3$ B、 $1.5 < α < 2$ C、 $1 < α < 1.5$ D、 $0 < α < 1$

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4. 一元二次方程x²﹣2x﹣1＝0的根是（）

A、x₁＝1，x₂＝2 B、x₁＝﹣1，x₂＝﹣2 C、x₁＝1+ $\sqrt{2}$ ，x₂＝1﹣ $\sqrt{2}$ D、x₁＝1+ $\sqrt{3}$ ，x₂＝1﹣ $\sqrt{3}$

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5. 小丽同学想用公式法解方程 $- x^{2} + 3 x = 1$ ，你认为a，b，c的值分别是（）

A、 $- 1$ 、3、 $- 1$ B、 $- 1$ 、3、1 C、 $- 1$ 、 $- 3$ 、 $- 1$ D、1、 $- 3$ 、 $- 1$

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6. 方程2x²-6x+3=0较小的根为p，方程2x²-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于（）

A、3 B、2 C、1 D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 用公式法解方程3x²+4=12x，下列代入公式正确的是（）

A、 $x = \frac{12 \pm \sqrt{12^{2} - 3 \times 4}}{2}$ B、x $= \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 3 \times 4}}{2}$ C、 $x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- {(- 12)}^{2} - 3 \times 4}}{2}$ D、 $x = \frac{- (- 12) \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 3 \times 4}}{2}$

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8. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x²＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（）

A、m＜2 B、m≤2 C、m＜2且m≠1 D、m≤2且m≠1

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9. 若关于x的一元二次方程ax²-2x+1=0有两个实数根，则实数a的取值范围是（）

A、a≤1且a≠0 B、a<1且a≠0 C、a≤1 D、a<1

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10. 已知关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 没有实数解，则k的取值范围是（）

A、 $k > 2$ B、 $k < 2$ 且 $k \neq 1$ C、 $k \geq 2$ D、 $k \leq 2$ 且 $k \neq 1$

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二、填空题

11. 用公式法解一元二次方程，得y＝ $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \times 3 \times 1}}{2 \times 3}$ ，请你写出该方程．

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12. 对于实数a、b，定义新运算“ $\otimes$ ”： a $\otimes$ b=a²-ab，如4 $\otimes$ 2=4²-4×2=8。若x $\otimes$ 4=-4，则实数x的值是。

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13. 方程 $\sqrt{2} x^{2} - \sqrt{3} x - 1 = 0$ 的解为．

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14. 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是．

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15. 关于 $x$ 的方程 $a x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 有两个实数根，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(1 - m) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 用公式法解方程：4x²－3＝12x.

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18. 用公式法解下列方程
2x²+6=7x．

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19. 解方程：2x²+3x﹣1=0．

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20. 解方程：x²﹣5=2（x+1）

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21. 解方程：x²+1=3x．

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22. 小明在解方程x²﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）

∴b²﹣4ac＝（﹣5）²﹣4×1×1＝21（第二步）

∴ $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ （第三步）

∴ $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ （第四步）

(1)、小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是．

(2)、写出此题正确的解答过程．

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23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m - 4 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．

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24. 已知关于x的方程 $(m - 1) x^{2} - 4 x + 2 = 0$ （其中m为实数）

(1)、当m时，已知方程为一元一次方程；

(2)、当m时，已知方程为一元二次方程；

(3)、若已知方程有实数根，求m的取值范围。

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