浙江省温州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷（A卷）

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. $i^{2021}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、- $i$

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2. 为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有（）人

A、12 B、18 C、80 D、120

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3. 已知 $\vec{a} = (0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (2 ， 4)$ ，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一组基底的是（）

A、 $\vec{a} ， \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} ， \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} ， 2 \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} ， 2 \vec{b} + \vec{c}$

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4. 法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高 $21 m$ ，底宽 $34 m$ ，则塔身的表面积（精确到 $0.01 m^{2})$ 是 $($ 　　 $)$ （可能用到的参考数据： $27^{2} = 729$ ， $34^{2} = 1156)$

A、 $3674.52 m^{2}$ B、 $2993.26 m^{2}$ C、 $1837.26 m^{2}$ D、 $1682.26 m^{2}$

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5. 多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．某题恰有3个选项符合题目要求，则随机作答该题时（至少选择一个选项），得2分的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{16}$

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6. 已知三个不同的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，三条不同的直线 $m$ ， $n$ ， $l$ ，满足 $α \cap β = m$ ， $β \cap γ = n$ ， $α \cap γ = l$ ，则下列命题不一定正确的为（）

A、若 $m // n$ ，则 $m // l$ B、若点 $A \in m$ ， $A \in n$ ，则 $A \in l$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $m ⊥ γ$ D、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ l$ ，则 $n ⊥ l$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 1$ ， $a + c = 2 b (\cos A + \cos C)$ ，若满足条件的 $△ A B C$ 有两个，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$

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8. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ （ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线），满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{c} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{c} - \vec{a} | = | \vec{c} - \vec{b} | = 1$ ，设 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{3}] \cup [2 ， + \infty)$ B、 $[\frac{2}{3} ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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二、多选题

9. 抛掷三枚硬币，设事件 $A_{i} =$ “第 $i$ 枚硬币正面朝上”， $i = 1$ ，2，3．则（）

A、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 互斥 B、 $A_{1} \cup A_{2}$ 与 $A_{3}$ 相互独立 C、 $P (A_{2} \cap A_{3}) = \frac{1}{4}$ D、 $P (A_{1} \cup A_{2}) = \frac{3}{4}$

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10. 某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）

A、这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人 B、估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时 C、估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时 D、估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时

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11. 平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = - 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = - 1$ ， $| \vec{a} | = 1$ ，则下列说法一定正确的有（）

A、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \vec{a}$ B、 $\vec{c}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ C、 $\min {| \vec{b} | ， | \vec{c} |} = 1$ D、 $\max {| \vec{b} | ， | \vec{c} |} \geq 1$

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12. 已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的边长为2， $Q$ 为棱 $A A^{'}$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别为线段 $C^{'} D^{'}$ ， $C D$ 上两动点（包括端点），记直线 $Q M$ ， $Q N$ 与平面 $A B B^{'} A^{'}$ 所成角分别为 $α$ ， $β$ ，且 $\tan^{2} α + \tan^{2} β = 4$ ，则存在点 $M$ ， $N$ ，使得（）

A、 $M N // A A^{'}$ B、 $M N = 2 \sqrt{2}$ C、 $M N = \frac{5}{2}$ D、 $M N ⊥ C^{'} Q$

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三、填空题

13. 如图，已知梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是水平放置的四边形 $A B C D$ 斜二测画法的直观图，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $∠ D^{'} A^{'} B^{'} = 45 °$ ，则原四边形 $A B C D$ 的面积为．

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14. 若复数 $z = a + \sqrt{3} a i$ ，其中i为虚数单位， $a \in R$ ，则 $| z - i |$ 的最小值为．

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15. 截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站 $A B$ ，已知基站 $A B$ 高 $40 m$ ，该同学在公路 $D$ 、 $E$ 两点处测得基站顶部 $A$ 处的仰角分别为 $30 °$ 、 $45 °$ ，且 $∠ D C E = 150 °$ .该同学沿着公路的边缘从 $D$ 处走至 $E$ 处一共走了 $700 m$ .则山高 $B C$ 为m.（该同学的身高忽略不计）

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16. 已知同一平面上的 $△ O A B$ 和 $△ O C D$ 分别是边长为1和2的正三角形（其中 $A$ ， $B$ ， $O$ 和 $C$ ， $D$ ， $O$ 均按逆时针排列），则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在复平面内，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的点分别为（1，-2）， $(a ， 1)$ ， $a \in R$ ，且 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 为纯虚数．

(1)、求a的值；

(2)、若 $z_{1}$ 的共扼复数 $\bar{z_{1}}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数 $p$ ， $q$ 的值．

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18. 已知三棱柱 $A B C - D E F$ 中，四边形 $B C F E$ 为矩形．

(1)、记平面 $B C D$ 与平面 $D E F$ 的交线为 $l$ ，求证： $l //$ 平面 $B C F E$ ；

(2)、若 $C D ⊥ D E$ ，求证： $A C ⊥ B D$ ．

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19. 在① $\cos ∠ D B C = \frac{4}{5}$ ，② $D C = 3$ ，③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{7}{3}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解．
问题：在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 4$ ，线段 $A C$ 中存在一点 $D$ 使得 $A D = A B$ ，求 $B D$ 的长度．

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20. 本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，三人租车时间都不会超过40分钟．

(1)、求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率：

(2)、求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率．

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21. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ， $E$ ， $F$ 是 $D C$ 的两个三等分点， $G$ ， $H$ 是 $A B$ 的两个三等分点，线段 $B C$ 上一动点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} (0 \leq λ \leq 1)$ ， $A P$ 分别交 $E G$ ， $F H$ 于 $M$ ， $N$ 两点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $A D = \vec{b}$ ．

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A P}$ ：

(2)、若 $\vec{M N} = μ \vec{A P}$ ，试写出 $λ$ 和 $μ$ 的关系，并求出 $μ$ 的取值范围．

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22. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 1$ ， $E$ 为线段 $C D$ 上一点（不在端点），沿线段 $A E$ 将 $△ A D E$ 折成 $△ A D^{'} E$ ，使得平面 $A D^{'} C ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明：平面 $A B D^{'}$ 与平面 $B C D^{'}$ 不可能垂直；

(2)、若二面角 $D^{'} - A E - B$ 大小为60°，
（ⅰ）求直线 $A D^{'}$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

（ⅱ）求三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的外接球的体积．

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