浙江省台州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内复数 $z = - \sqrt{3} + i (i$ 为虚数单位)对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 半径为1的球的体积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $4 π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (3 ， m)$ .若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、6 B、 $- 6$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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4. “直线a与直线b没有交点”是“直线a与直线b为异面直线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a ： b ： c = 2 ： 3 ： 4$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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6. 若数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的方差为2，则 $2 x_{1} - 3 ， 2 x_{2} - 3 ， \dots ， 2 x_{n} - 3$ 的方差为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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7. 已知直线 $l ， m$ 和平面 $α ， β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l / / α ， l / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $l ⊥ α ， l ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $l ⊥ α ， l ⊥ m$ ，则 $m / / α$ D、若 $l \subset α ， m \subset α ， l / / β ， m / / β$ ，则 $α / / β$

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8. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} - \vec{b} | = 3 ， | \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ .设 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $sin θ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆､150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是（）

A、样本容量为500 B、采用简单随机抽样比分层随机抽样合适 C、应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等 D、应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆､150辆､250辆

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10. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{a} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{b} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{\circ} ， ∠ B = 45^{\circ} ， A B = 2$ ，点 $D$ 为直线 $B C$ 上的点.则（）

A、当 $A D ⊥ B C$ 时， $A D = \sqrt{2}$ B、当 $A D = \sqrt{2}$ 时， $A D ⊥ B C$ C、当 $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线时， $A D = 2 \sqrt{3} - 2$ D、当 $A D = 2 \sqrt{3} - 2$ 时， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线

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12. 如图，在圆锥 $S O$ 中，轴截面 $S A B$ 是边长为2的等边三角形，点 $M$ 为高 $S O$ 上一动点，圆柱 $M O$ 为圆锥 $S O$ 的内接圆柱(内接圆柱的两个底面的圆周都在圆锥表面上).点 $P$ 为圆锥底面的动点，且 $A M ⊥ M P$ .则（）

A、圆柱 $M O$ 的侧面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ B、圆柱 $M O$ 的轴截面面积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、当 $O M = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{3}$ D、当 $O M = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，直线 $M P$ 与圆锥底面所成角的最大值为 $60^{\circ}$

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三、填空题

13. 已知复数 $z = 3 - m + (m + 1) i$ ( $i$ 为虚数单位)为纯虚数，则实数 $m =$ .

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14. 已知直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角为 $30^{\circ}$ ，若直线 $m \subset α$ ，则 $l$ 与 $m$ 所成角的最小值为.

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15. 某小区12户居民四月份月用水呈(单位：t)分别为：
$\begin{array}{l} 5.4 & 13.6 & 6.8 & 7.7 & 16.8 & 3.5 \\ 10.5 & 7.1 & 20.5 & 4.9 & 15.2 & 11.1 \end{array}$

则所给数据的第75百分位数是.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 1.$ 若对任意的 $t \in R ， | \vec{A B} + t \vec{A C} | \geq \sqrt{3}$ 恒成立，则角 $A$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = 1 - i$ ( $i$ 为虚数单位).

(1)、求 $| z |$ ；

(2)、若 $\frac{z}{1 + i} = a + b i$ ，求实数 $a$ 和 $b$ 的值.

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = A B = A C = B C = 2 ， P C = 1$ .

(1)、求证： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离.

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19. 某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组： $[150 ， 160) ， [160 ， 170$ )， $[170 ， 180) ， [180 ， 190]$ ，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求高一学生身高的平均数和中位数的估计值.

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且__________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.
① $cos A = cos 2 B cos 2 C - sin 2 B sin 2 C$ ；② $c (sin B + sin C) = a sin A - b sin B$ ：③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} - b^{2} - c^{2})$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 满足 $\vec{B D} = \frac{c}{b} \vec{D C}$ ，且 $| \vec{A D} | = 1$ ，求 $4 c + b$ 的最小值.

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21. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 2.$ 点 $E ， F$ 分别在 $A B ， C D$ 上，且 $A E = 2 ， C F = 1$ .沿 $E F$ 将四边形 $A E F D$ 翻折至四边形 $A^{'} E F D^{'}$ ，点 $A^{'} \notin$ 平面 $B C F E$ .

(1)、求证： $C D^{'} / /$ 平面 $A^{'} B E$ ；

(2)、 $A^{'} ， B ， C ， D^{'}$ 四点是否共面？给出结论，并给予证明；

(3)、在翻折的过程中，设二面角 $A^{'} - B C - E$ 的平面角为 $θ$ ，求 $tan θ$ 的最大值.

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