浙江省丽水市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数 $(2 - i) i$ 的虚部为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $2 i$

查看试题解析
2. 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，得到一次正面向上和一次反面向上的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$

查看试题解析
4. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} = 5$ ， $s^{2} = 2$ B、 $\bar{x} = 5$ ， $s^{2} > 2$ C、 $\bar{x} = 5$ ， $s^{2} < 2$ D、 $\bar{x} > 5$ ， $s^{2} < 2$

查看试题解析
5. 从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A=“至少有1个红球”，事件B=“至多有1个白球”，则（）

A、 $P (A) < P (B)$ B、 $P (A) = P (B)$ C、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ D、 $P (A) + P (B) = 1$

查看试题解析
6. 若向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (4 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、1 D、2

查看试题解析
7. 新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．

以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）

A、第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平 B、第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值 C、若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元 D、若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元

查看试题解析
8. 已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{A B} |$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} {\vec{B C}}^{2}$ B、 $- \frac{1}{4} {\vec{B C}}^{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} {\vec{B C}}^{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} {\vec{B C}}^{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $α // β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ C、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

查看试题解析
10. 下列四个命题中，不正确的是（）

A、若复数z满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ B、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} z_{2} \in R$ C、若复数 $z = a + b i$ （ $a ， b \in R$ ），则 $z$ 为纯虚数的充要条件是 $a = 0$ D、若 ${(z_{1} - z_{2})}^{2} + {(z_{2} - z_{3})}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = z_{3}$

查看试题解析
11. 已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（）

A、从高中生中抽取了440人 B、每名学生被抽到的概率为 $\frac{1}{125}$ C、估计该地区中小学生总体的平均近视率为60% D、估计高中学生的近视人数约为44000

查看试题解析
12. 已知正方体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $P$ 是 $A A_{1}$ 的中点，点 $M$ 是侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 内的动点，且满足 $D_{1} M ⊥ C P$ ，下列选项正确的是（）

A、动点 $M$ 轨迹的长度是 $2 \sqrt{5}$ B、三角形 $A_{1} D_{1} M$ 在正方体内运动形成几何体的体积是 $\frac{32}{3}$ C、直线 $D_{1} M$ 与 $B C$ 所成的角为 $α$ ，则 $\tan α$ 的最小值是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、存在某个位置 $M$ ，使得直线 $B D_{1}$ 与平面 $A_{1} D_{1} M$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$

查看试题解析

三、填空题

13. 空气质量指数（AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，AQI的数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重．当空气质量指数在0\sim 50时，空气质量指数级别为一级（优）；当空气质量指数在51-100时，空气质量指数级别为二级（良）……为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对我市2020年的空气质量进行调研，随机抽取了100天的空气质量指数（AQI），得下表：

空气质量指数	[0，30]	（30，40]	（40，50]	（50，60]	（60，70]	（70，80]	（80，100]	>100
天数	8	21	22	18	17	8	5	1

依据上表，估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率是．

查看试题解析

14. 设复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $| z | =$ .

查看试题解析
15. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \sqrt{2} b c$ ， $c = 4$ ，则边 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析
16. 已知球 $O$ 的球面面积为 $100 π$ ，四面体 $S A B C$ 的四个顶点均在球面上，且 $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S A = 6$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，则该四面体的体积的最大值是．

查看试题解析
17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{c} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}$ ，则 $| \vec{c} | + | 2 \vec{c} + 3 \vec{a} |$ 的最大值是．

查看试题解析
18. 已知复数 $z$ 满足 $| z - 3 + 4 i | = 2$ ，则 $| z |$ 的最大值是．

查看试题解析

四、解答题

19. 某景区的平面图如图所示，其中 $A B$ ， $A C$ 为两条公路， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $M ， N$ 为公路上的两个景点，测得 $A M = 2$ km， $A N = 1$ km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台 $P$ ，为了获得最佳观景效果，要求 $P$ 对 $M ， N$ 的视角 $∠ M P N = 60^{\circ}$ ．现需要从观景台 $P$ 到 $M ， N$ 建造两条观光路线 $P M ， P N$ ．

(1)、求 $M ， N$ 两地间的直线距离；

(2)、求观光线路 $P M + P N$ 长的取值范围．

查看试题解析
20. 以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在 $50 \sim 400$ kW•h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．

(1)、求直方图中x的值；

(2)、估计该小区居民用电量的平均值和中位数；

(3)、从用电量落在区间[300，400）内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350，400）内的概率．

查看试题解析
21. 如图，已知在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ，点 $E$ 是边 $B C$ 的中点， $D E$ 与 $A C$ 相交于点 $H$ ，现将△ $A C D$ 沿 $A C$ 折起，点 $D$ 的位置记为 $D^{'}$ ，此时 $E D^{'} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ ， $M$ 是 $A D^{'}$ 的中点．

(1)、求证： $B M / /$ 平面 $D^{'} H E$ ；

(2)、求二面角 $H - E D^{'} - C$ 的余弦值．

查看试题解析
22. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ．

(1)、已知 $b = c (\cos A - \sin A)$ ，且__________（在① $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 1 - \sqrt{3}$ ，② $B = \frac{π}{6}$ ，③ $a = \sqrt{3} - 1$ ，这三个条件中任选两个补充到横线上），求 $c$ ；

(2)、若 $\vec{C D} = \frac{1}{4} \vec{C A}$ ， $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{C B}$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，过 $F$ 的直线分别交线段 $A D ， B E$ 于 $M ， N$ 两点，设 $\vec{C M} = p \vec{C A}$ ， $\vec{C N} = q \vec{C B}$ ，求 $p + q$ 的最小值．

查看试题解析
23. 如图，已知在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $A C ⊥ B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $S A = S B = S C = 4$ ， $∠ A S B = 90 °$ .

(1)、求 $S C$ 与平面 $S A B$ 所成的角的正弦值；

(2)、棱 $S C$ 上是否存在点 $M$ ，使得平面 $M A B ⊥$ 平面 $S C D$ ？若存在，求 $S M$ 的值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析