浙江省嘉兴市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (m + 1 ， m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 5$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，则所抽取的两个数字之和能被3整除的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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5. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，若甲、乙两人各射击一目标被命中的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 已知等腰直角 $△ A B C$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $P$ 为 $B C$ 边上一个动点，则 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{A P}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $B = 60 °$ ， $c = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{8} ， \frac{\sqrt{3}}{4})$ B、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{8} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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8. 已知正四面体 $A B C D$ ，点 $M$ 为棱 $A B$ 上一个动点，点 $N$ 为棱 $C D$ 上靠近点 $C$ 的三等分点，记直线 $M N$ 与 $B C$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{38}}{19}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{19}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{17}$ D、 $\frac{\sqrt{34}}{17}$

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二、多选题

9. 已知 $a ， b$ 是两条不重合的直线， $α ， β$ 是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $α // β$ ， $a$ 与 $α$ 所成的角和 $b$ 与 $β$ 所成的角相等，则 $a // b$ B、若 $a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $α // β$ C、若 $a // b$ ， $a ⊥ α$ ， $b // β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a // α$ ， $α // β$ ，则 $a // β$

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，根据下列条件解三角形，有且只有一解的是（）

A、 $b = 4$ ， $A = 20 °$ ， $C = 40 °$ B、 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $A = 35 °$ C、 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $B = 35 °$ D、 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $C = 35 °$

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11. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| a | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ B、 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ C、 $\exists λ \in R$ ，使 $| \vec{a} - λ \vec{b} | = \frac{3}{2}$ D、 $\forall λ \in R$ ， $| \vec{a} - λ \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{b} |$ 恒成立

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12. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 2$ ， $D C = A D = 1$ ，点 $E$ 在线段 $A B$ 上，现将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起为 $△ A^{'} D E$ ，记二面角 $A^{'} - D E - C$ 的平面角为 $α$ ， $A^{'} O ⊥$ 底面 $B C D E$ ，垂足为 $O$ ，则下列说法正确的是（）

A、不存在 $α$ ，使得 $B C ⊥ A^{'} C$ B、若 $\vec{A E} = 3 \vec{E B}$ ，则存在 $α$ ，使得平面 $B C D E ⊥$ 平面 $A^{'} C D$ C、若 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E B}$ ，则四棱锥 $A^{'} - B C D E$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{12}$ D、当 $α = \frac{π}{2}$ 时， $O B$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 1 ， 1)$ ， $B (0 ， 1 ， 3)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标为.

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14. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，用斜二测法画出其水平放置的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，若 $O^{'} A^{'} = O^{'} B^{'} = 1$ ，则 $B^{'} C^{'}$ 的长为.

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15. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 为底面 $A B C D$ 上一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C_{1}}$ 的最小值为.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} |^{2} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{c} \cdot (\vec{c} - \frac{\vec{b}}{2}) = 0$ ，则 $| \vec{c} - \vec{a} |^{2} + | \vec{c} - \vec{b} |^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $\vec{m} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{n} = - 3 \vec{a} + \vec{b}$ ．

(1)、求 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ ；

(2)、求 $| 2 \vec{m} + \vec{n} |$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2 A D$ ， $E$ 为 $P C$ 中点.

(1)、证明： $P A //$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，请在① $(2 b - c) (b^{2} - a^{2} + c^{2}) = 2 a b c \cos C$ ；② $b \tan A = (2 c - b) \tan B$ ；③ $2 c - b = a (\sqrt{3} \sin C - \cos C)$ 这三个条件中任选一个，完成下列问题：

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $b - c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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20. 为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行”防控疫情知识竞赛活动，经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为i的球有i个(i=12，3)，甲、乙两名同学需从6个球中随机摸取3个球，所取球的标号之和多者获胜.

(1)、求甲所取球的标号之和为7的概率；

(2)、求甲获胜的概率.

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $\vec{m} = (\cos 2 C ， - 1)$ ， $\vec{n} = (2 ， \cos (A + B) + 1)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $\cos C$ 的值；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{2}$ ， $a = 2$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{M B}$ ，求 $C M$ 的长.

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22. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是边长为2的菱形， $A B = \sqrt{3}$ ， $∠ C B B_{1} = 60 °$ ，且 $∠ A B B_{1} = ∠ A B C$ .

(1)、证明： $A B ⊥ C B_{1}$ ；

(2)、若二面角 $A - C B_{1} - B$ 的平面角为 $60 °$ ，求 $C A_{1}$ 与平面 $A C B_{1}$ 所成角的正弦值.

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