浙江省湖州市安吉县2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果复数 $\frac{m^{2} + i}{1 + m i}$ 是纯虚数，那么实数m等于（）

A、﹣1 B、0 C、0或1 D、0或﹣1

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2. 某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：

编号	身高	编号	身高	编号	身高
1	173	6	169	11	168
2	179	7	177	12	175
3	175	8	175	13	172
4	173	9	174	14	169
5	170	10	182	15	176

那么这组数据的第80百分位数是（）

A、175 B、176 C、176.5 D、170

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是棱 $A A_{1} ， A B$ 的中点，则异面直线 $E F$ 和 $C_{1} D$ 所成角的大小是

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ， $\vec{A B} = (2 - k ， 2)$ ， $\vec{A C} = (2 ， 3)$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $5$ B、 $- 5$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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5. 从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；

②至少有1个黄球与都是黄球；

③恰有1个白球与恰有1个黄球；

④至少有1个黄球与都是白球．

其中互斥而不对立的事件共有（）

A、0组 B、1组 C、2组 D、3组

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线， $\vec{c} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = m \vec{a} + (m + 2) \vec{b}$ ，若 $\vec{c} // \vec{d}$ ，则 $m =$ （）

A、-12 B、-9 C、-6 D、-3

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7. 设a，b，c分别 $Δ A B C$ 是的三个内角 $A B C$ 所对的边，若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ 则 $A = 30^{o}$ 是 $B = 60^{o}$ 的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 1$ ， $A C = 5$ ， $P A = \sqrt{10}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的体积为（）．

A、24π B、36π C、72π D、144π

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二、多选题

9. 给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18.则这两组数据的（）

A、平均数相等 B、中位数相等 C、极差相等 D、方差相等

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10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（）

A、某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 $\frac{4}{27}$ B、三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 $\frac{2}{5}$ C、甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 $\frac{1}{2}$ D、设两个独立事件A和B都不发生的概率为 $\frac{1}{9}$ ，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是 $\frac{2}{9}$

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E ， F ， G$ 分别为 $B C ， C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点.则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线AF垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行 C、平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$ D、点 $A_{1}$ 和点D到平面AEF的距离相等

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12. 在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $A C$ 的中点，且 $B C = 6$ ， $A D = 2$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 面积最大值是12 B、 $\cos B \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $| \vec{A D} + \vec{B E} |$ 不可能是5 D、 $\vec{B E} \cdot \vec{A C} \in (\frac{11}{2} ， \frac{35}{2})$

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三、填空题

13. 将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为.

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14. 若直线m与不重合的平面α、β所成的角相等为θ ，则α与β ．

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15. 如图，在离地面高400 $m$ 的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知 $∠ B A C = 60 °$ ，求山的高度 $B C =$ m .
.

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16. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，记 $\vec{d} = \vec{a} - \sqrt{3} \vec{b}$ ，则对任意λ∈R ， $| 2 \vec{a} + \vec{c} | + | (1 - λ) \vec{d} | + 2 | \vec{a} - \vec{c} - λ \vec{d} |$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，O是 $A D$ 边的中点， $P O ⊥$ 底面 $A B C D ， P O = 1$ ．在底面 $A B C D$ 中， $B C / / A D ， C D ⊥ A D ， B C = C D = 1 ， A D = 2$ ．

(1)、求证： $A B / /$ 平面 $P O C$ ；

(2)、求二面角 $B - A P - D$ 的余弦值．

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18. 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：

(1)、若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

(2)、若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙发球时甲赢1分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 $x (x \leq 4)$ 个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.

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19. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 $[1000 ， 1500)$ ）.

(1)、求居民收入在 $[3000 ， 3500)$ 的频率；

(2)、根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(3)、为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在 $[2500 ， 3000)$ 的这段应抽取多少人？

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(\sqrt{3} b - c \sin A) \sin C = c (1 - \cos A \cos C)$ ．

(1)、求 $B$ 的值；

(2)、在① $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，② $A = \frac{π}{4}$ ，③ $a = 2 c$ 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若 $b = 3$ ， ▲ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{x} = \vec{a} + (t + 1) \vec{b}$ ， $\vec{y} = - \frac{1}{k} \vec{a} + \frac{1}{t} \vec{b}$ ．

(1)、写出平面向量基本原理的内容，并由此说明 $\vec{a} ， \vec{b}$ 能否成为一组基底；

(2)、若对于任意非0实数t ， $\vec{x}$ 与 $\vec{y}$ 均不共线，求实数k的取值范围．

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22. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所有的棱长为2， $A_{1} B = A_{1} C = \sqrt{2}$ ，M是棱BC的中点.

(1)、求证： $A_{1} M ⊥$ 平面ABC；

(2)、在线段B₁C是否存在一点P ，使直线BP与平面A₁BC 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{30}}{20}$ ? 若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由.

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