浙江省湖州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设i是虚数单位，则复数 $\frac{i}{1 + i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. “幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间 $[0 ， 10]$ 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位湖州市居民，他们的幸福感指数为5，6，6，6，7，7，8，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（）

A、7.5 B、8 C、8.5 D、9

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D_{1}$ 所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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4. 已知 $\vec{O A} = (2 ， 3)$ ， $\vec{O B} = (- 3 ， y)$ ，若 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ，则 $| \vec{A B} |$ 等于（）

A、2 B、 $\sqrt{26}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{15}}{2}$

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5. 在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（）

A、至少摸出1个白球 B、至少摸出1个红球 C、摸出2个白球 D、摸出2个白球或摸出2个红球

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6. 在 $△ A B C$ 中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点， $\vec{A N} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“ $a \cos B = c$ ”是“ $△ A B C$ 是直角三角形”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆公共弦长为 $2 \sqrt{3}$ .若两个圆的半径分别为 $2 \sqrt{3}$ 和4，则该球的体积是（）

A、 $36 π$ B、 $\frac{52 \sqrt{13}}{3} π$ C、 $125 π$ D、 $\frac{500 π}{3}$

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二、多选题

9. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下
甲选手：78 84 85 85 86 88 92

乙选手：72 84 86 87 89 93 94

则以下结论正确的是（）

A、甲成绩的极差比乙成绩的极差小 B、甲成绩的众数比乙成绩的中位数小 C、甲成绩的方差比乙成绩的方差小 D、甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大

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10. 有一道数学难题，学生甲解出的概率为 $\frac{1}{2}$ ，学生乙解出的概率为 $\frac{1}{3}$ ，学生丙解出的概率为 $\frac{1}{4}$ .若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（）

A、恰有一人解出的概率为 $\frac{11}{24}$ B、没有人能解出的概率为 $\frac{1}{24}$ C、至多一人解出的概率为 $\frac{17}{24}$ D、至少两个人解出的概率为 $\frac{23}{24}$

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11. 记E，F分别是正方形ABCD边AD和BC的中点，现将△ $A B E$ 绕着边BE旋转，则在旋转过程中（）

A、AE与BF不可能垂直 B、AB与DF可能垂直 C、AC与AF不可能垂直 D、AF与DE可能垂直

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12. 如图，△ $O A_{1} B_{1}$ ，△ $A_{1} A_{2} B_{2}$ ，△ $A_{2} A_{3} B_{3}$ 是全等的等腰直角三角形（ $O B_{1} = 1$ ， $B_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 处为直角顶点），且 $O$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 四点共线.若点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 分别是边 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ ， $A_{3} B_{3}$ 上的动点（包含端点），记 $I_{1} = \vec{O B_{1}} \cdot \vec{O P_{3}}$ ， $I_{2} = \vec{O B_{2}} \cdot \vec{O P_{2}}$ ， $I_{3} = \vec{O B_{3}} \cdot {\vec{O P}}_{1}$ ，则（）

A、 $I_{1} > 3$ B、 $I_{3} \geq I_{1}$ C、 $I_{3} \leq I_{2}$ D、 $5 \leq I_{2} \leq 6$

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三、填空题

13. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为 $2 π$ 的半圆，则该圆锥的母线长是.

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14. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 1 ， D$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $B D = 1$ ，若 $A D$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $α$ ，则 $\sin α =$ ．

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15. 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得 $C D = 4 km$ ， $∠ A D B = ∠ C D B = 30 °$ ， $∠ A C D = 60 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则A，B两点间的距离是km.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为45°， $| \vec{a} | = 1$ 且 $\vec{c} = - 2 \vec{a} + λ \vec{b} (λ \in R)$ ，则 $| \vec{c} | + | \vec{c} - \vec{a} |$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均为2，且 $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 60 °$ .

(1)、求证： $C_{1} D / /$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - A C - D_{1}$ 的余弦值.

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18. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)、若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

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19. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 $[1000 ， 1500)$ ）.

(1)、求居民收入在 $[3000 ， 3500)$ 的频率；

(2)、根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(3)、为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在 $[2500 ， 3000)$ 的这段应抽取多少人？

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20. 请在① $2 b \sin (A + \frac{π}{6}) = a + c$ ；② $(2 c - a) \cos B = b \cos A$ ；③ $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S_{△ A B C}$ 这三个条件中任意选择一个，补充在下面问题的横线上，并进行解答.
在△ $A B C$ 中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足______-.

（Ⅰ）若 $b = 2$ 且 $C = \frac{π}{4}$ ，求△ $A B C$ 的面积；

（Ⅱ）若 $4 a + b = 3 c$ ，求 $\cos C$ .

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21. 如图，在直角梯形OABC中， $O A / / C B$ ， $O A ⊥ O C$ ， $O A = 2 B C = 2 O C$ . $F$ 为 $A B$ 上靠近 $B$ 的三等分点，OF交AC于D，E为线段BC上的一个动点（包含端点）.

(1)、若 $\vec{O D} = t \vec{O F} (t \in R)$ ，求实数 $t$ 的值；

(2)、设 $\vec{O B} = λ \vec{C A} + μ \vec{O E} (λ ， μ \in R)$ ，求 $λ \cdot μ$ 的取值范围.

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22. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $A D / / B C$ 且 $A B ⊥ A D$ ， $A D = 6 \sqrt{2}$ ， $A B = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $△ P A D$ 的面积等于 $12 \sqrt{2}$ ，E是PD是中点.

(1)、求四棱锥 P-ABCD 体积的最大值；

(2)、若PB=4 $\sqrt{5}$ ， tan∠PAD= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（i）求证：AD⊥PC ；
（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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